Le coefficient actif de Rankine vaut Ka = tan²(45° − φ'/2), et la poussée qu'il engendre sur un mur vaut ½·Ka·γ·H². Saisissez la hauteur du mur, l'angle de frottement et le poids volumique du sol, ainsi que la largeur et la masse volumique du mur, pour obtenir Ka, la poussée active et les coefficients de sécurité au renversement et au glissement. Le modèle représente un mur-poids rectangulaire.
Calculateur
Unités :
m
Hauteur de terres retenues
°
Angle de frottement effectif du remblai. Remblai granulaire 30 à 35°
kN/m³
Poids volumique apparent du sol retenu
m
Largeur de base. Visez 0,5 à 0,7 fois la hauteur du mur
kN/m³
Béton 24, maçonnerie 20 à 22 kN/m³
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir le coefficient de poussée active, la résultante par mètre de mur, et les coefficients de sécurité au renversement et au glissement. Les deux vérifications doivent passer — 2,0 au renversement et 1,5 au glissement sont les minima habituels.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Applique directement la théorie de la poussée active de Rankine
✓Vérifie renversement et glissement, qui concordent rarement
✓Alerte automatiquement sous les seuils de 2,0 et 1,5
✓Rend visible que la stabilité tient à la largeur de semelle, non au poids du mur
✓Le graphique de sensibilité montre les deux coefficients répondre à la largeur
✓Liens partageables et export CSV pour les pièces de conception
Qu'est-ce qu'un mur de soutènement ?
Le sol retenu derrière un mur pousse vers l'extérieur. Si le mur cède légèrement en s'écartant du sol — ce que fait tout mur réel — le sol mobilise sa résistance au cisaillement et la pression tombe à l'état actif, le minimum qu'il puisse exercer. La théorie de Rankine donne cet état pour un mur vertical lisse et un remblai horizontal par Ka = tan²(45° − φ'/2) ; la pression croît linéairement avec la profondeur, de sorte que la résultante vaut ½·Ka·γ·H² et s'applique au tiers de la hauteur au-dessus de la base.
Pourquoi la hauteur compte bien plus qu'il n'y paraît
La poussée active croît comme le carré de la hauteur du mur, et son bras de levier autour du patin croît linéairement : le moment de renversement croît donc comme le cube. Doubler la hauteur d'un mur multiplie le moment de renversement par huit. Le moment stabilisateur dû au poids propre ne croît que comme le carré de la largeur de semelle pour une hauteur donnée, ce qui explique que les murs-poids s'élargissent de façon disproportionnée à mesure qu'ils montent.
Deux vérifications qui divergent
Le renversement est repris par le poids du mur agissant à la moitié de la largeur de semelle : le moment stabilisateur varie donc en B². Le glissement est repris par le frottement sous la semelle, qui ne varie qu'en B. Le glissement progresse donc plus lentement que le renversement quand la semelle s'élargit, et c'est lui qui est habituellement dimensionnant. Lorsqu'on ne peut le satisfaire par la largeur, une bêche coulée sous la semelle est le remède classique.
Formule
K_a = tan²(45° − φ'/2)
Coefficient de poussée active de Rankine pour un remblai horizontal
Formules associées
P_a = ½ · K_a · γ · H²
CS_renversement = (W · B/2) / (P_a · H/3)
CS_glissement = (W · tan(⅔φ')) / P_a
K_p = tan²(45° + φ'/2)
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
K_a
Coefficient de poussée active
—
Rapport de la contrainte effective horizontale à la verticale à l'état actif. 0,333 pour φ' = 30°.
P_a
Poussée active
kN/m
Résultante par mètre linéaire de mur, appliquée au tiers de la hauteur au-dessus de la base.
H
Hauteur du mur
m
Hauteur de terres retenues. Le moment de renversement croît comme son cube.
φ'
Angle de frottement du sol
°
Angle de frottement effectif du sol retenu. Une valeur élevée abaisse fortement Ka.
γ
Poids volumique du sol
kN/m³
Poids volumique apparent du remblai, typiquement 17 à 20 kN/m³.
B
Largeur de semelle
m
Largeur de la base du mur. La variable de stabilité dominante.
γ_m
Poids volumique du mur
kN/m³
Poids volumique du matériau du mur ; 24 kN/m³ pour le béton.
Comment utiliser ce calculateur
Employez des paramètres effectifs pour le remblaiSaisissez l'angle de frottement effectif du sol retenu. Un remblai granulaire à 30 ou 35° est préféré derrière un mur précisément parce que Ka chute fortement avec φ' — 0,271 à 35° contre 0,333 à 30°, soit 19 % de poussée en moins.
Saisissez toute la hauteur retenueMesurez de la base du mur au sommet des terres retenues. Comme le moment de renversement croît avec le cube de la hauteur, une sous-estimation ici pèse plus lourd que sur n'importe quelle autre donnée.
Lisez d'abord la vérification au glissementLe glissement est habituellement dimensionnant, parce que sa résistance ne croît que linéairement avec la largeur de semelle alors que celle du renversement croît comme le carré. Si le glissement passe, le renversement passe presque toujours.
Comparez chaque coefficient à son propre minimumLes seuils diffèrent : 2,0 au renversement et 1,5 au glissement sont les exigences habituelles. Satisfaire l'un n'implique pas l'autre, et les deux doivent être vérifiés.
Rappelez-vous ce que ce modèle ometIl représente un mur-poids rectangulaire. Il ne tient compte ni du poids des terres reposant sur le talon d'une semelle en console, ni de la butée au patin, ni d'une surcharge derrière le mur, ni de la pression d'eau — et il ne vérifie ni la contrainte sur le sol ni l'excentrement, qui sont fréquemment dimensionnants.
Exemples résolus
Exemple 1
Un mur-poids en béton de 3,0 m avec une semelle de 1,5 m retient un remblai granulaire à φ' = 30° et γ = 18 kN/m³. Le béton pèse 24 kN/m³. Vérifions sa stabilité.
Solution étape par étape
Coefficient de poussée active : Ka = tan²(45° − 30°/2) = tan²(30°) = 0,333
Poussée active : Pa = ½ × 0,333 × 18 × 3,0² = ½ × 0,333 × 18 × 9 = 27,00 kN/m
Moment de renversement autour du patin : Mr = Pa × H/3 = 27,00 × 1,0 = 27,00 kN·m/m
Poids du mur : W = 24 × 1,5 × 3,0 = 108,00 kN/m
Moment stabilisateur : Ms = W × B/2 = 108,00 × 0,75 = 81,00 kN·m/m
CS au renversement : 81,00 / 27,00 = 3,00 — confortablement au-dessus du minimum de 2,0
Coefficient de frottement en base : μ = tan(⅔ × 30°) = tan(20°) = 0,364
Bilan : le renversement passe largement à 3,00, mais le glissement à 1,46 reste juste sous le minimum de 1,5. C'est le glissement qui gouverne, comme d'ordinaire.
Exemple 2
Le même mur avec un remblai porté de φ' = 30° à φ' = 35° — l'argument en faveur d'un remblai granulaire d'apport plutôt que d'un réemploi du sol du site.
Solution étape par étape
Coefficient de poussée active : Ka = tan²(45° − 17,5°) = tan²(27,5°) = 0,271
Poussée active : Pa = ½ × 0,271 × 18 × 9 = 21,95 kN/m — 19 % de moins qu'à 30°
Moment de renversement : 21,95 × 1,0 = 21,95 kN·m/m
Le poids du mur et le moment stabilisateur restent inchangés à 108,00 kN/m et 81,00 kN·m/m
CS au renversement : 81,00 / 21,95 = 3,69, contre 3,00
Le frottement en base emploie maintenant l'angle plus élevé : μ = tan(⅔ × 35°) = tan(23,33°) = 0,4314
CS au glissement : (108,00 × 0,4314) / 21,95 = 46,59 / 21,95 = 2,12, contre 1,46
Le glissement a gagné 45 % pour 5° d'angle de frottement, parce qu'il gagne deux fois — l'effort moteur baisse et le frottement en base augmente.
C'est la raison pour laquelle prescrire un remblai granulaire d'apport revient si souvent moins cher qu'élargir le mur pour s'adapter au sol déjà présent sur le site.
Sensibilité à la largeur de semelle
La résistance au renversement croît comme le carré de la largeur de semelle alors que la résistance au glissement ne croît que linéairement : les deux courbes divergent — et c'est celle du glissement qui reste basse. Basculez de l'une à l'autre pour le voir. Le marqueur indique votre largeur actuelle.
CS au glissementen fonction deLargeur de semelle
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de CS au glissement en fonction de Largeur de semelle. Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de largeur de semelle.
Comment interpréter le résultat
Les deux coefficients de sécurité doivent être satisfaits, face à des seuils différents. 1,5 au glissement et 2,0 au renversement sont les minima habituels, et c'est le glissement qu'il faut lire d'abord parce qu'il est normalement dimensionnant.
CS au glissement : < 1Le mur va glisser
Un coefficient de sécurité au glissement de < 1 est inférieur à 1,0 : le frottement en base ne peut pas reprendre la poussée des terres. Le mur bougera. Élargissez la semelle, ajoutez une bêche sous celle-ci, ou améliorez l'angle de frottement du remblai.
CS au glissement : 1 – 1,5Glissement sous le minimum exigé
Un coefficient de sécurité au glissement de 1 – 1,5 reste sous les 1,5 habituellement exigés. Élargir la semelle n'aide ici que linéairement : une bêche est donc souvent la correction la plus économique, puisqu'elle mobilise la butée au lieu de s'en remettre au seul frottement.
CS au glissement : 1,5 – 3Glissement vérifié
Un coefficient de sécurité au glissement de 1,5 – 3 satisfait le minimum habituel de 1,5. Confirmez également la vérification au renversement, et rappelez-vous que ce modèle omet surcharge et pression d'eau, qui réduisent toutes deux la marge.
CS au glissement : ≥ 3Résistance au glissement généreuse
Un coefficient de sécurité au glissement de ≥ 3 dépasse largement l'exigence. La semelle est peut-être plus large que nécessaire — il vaut la peine de vérifier si un mur plus étroit satisfait encore les deux contrôles, la largeur de semelle pilotant le volume de béton.
CS au renversement : < 2Renversement sous le minimum exigé
Un coefficient de sécurité au renversement de < 2 est inférieur aux 2,0 normalement exigés. Comme le moment stabilisateur croît avec le carré de la largeur de semelle, l'élargir est ici très efficace — 20 % de largeur en plus relèvent ce coefficient d'environ 44 %.
Ka (coefficient de poussée active) : ≥ 0,4Coefficient de poussée active élevé
Un coefficient de poussée active de ≥ 0,4 traduit un faible angle de frottement — un remblai cohérent ou mal compacté. Ka monte fortement quand φ' baisse : importer un remblai granulaire revient en général bien moins cher que de bâtir le mur pour s'accommoder d'un matériau médiocre.
Erreurs courantes à éviter
Ignorer la pression d'eau derrière le mur
Pourquoi c'est important :L'eau exerce une pression hydrostatique pleine, de coefficient 1,0, contre environ 0,33 pour le sol. Un remblai saturé peut donc tripler la poussée, et une pression d'eau non drainée est à l'origine d'une large part des ruines de murs de soutènement.
✓Comment l'éviter :Prévoyez un remblai drainant et des barbacanes ou une couche drainante, et traitez-les comme une exigence permanente plutôt que comme un détail. Lorsque le drainage ne peut pas être garanti, dimensionnez sur le cas hydrostatique.
Omettre la surcharge côté terres
Pourquoi c'est important :Une route, un stock de matériaux ou un engin derrière un mur ajoutent une surcharge uniforme q, qui engendre une poussée supplémentaire Ka·q·H appliquée à mi-hauteur. Elle s'oublie facilement et peut représenter une fraction importante du total.
✓Comment l'éviter :Intégrez toute surcharge, y compris les charges temporaires de chantier. Une surcharge de 10 kPa sur un mur de 3 m ajoute environ 10 kN/m — plus du tiers de la poussée des terres dans l'exemple ci-dessus.
Vérifier le renversement sans vérifier le glissement
Pourquoi c'est important :Les deux ont des seuils différents et des sensibilités différentes. La résistance au renversement croît comme le carré de la largeur de semelle, celle au glissement seulement linéairement : un mur peut donc passer largement le renversement et échouer au glissement — exactement ce que fait le cas par défaut ici.
✓Comment l'éviter :Vérifiez les deux. Lisez d'abord le glissement, puisque c'est lui qui gouverne d'ordinaire la largeur de semelle d'un mur-poids.
Supposer le frottement du sol entier sous la semelle
Pourquoi c'est important :L'angle de frottement entre le béton et le sol est plus faible que l'angle de frottement interne du sol, typiquement les deux tiers de celui-ci. Employer φ' en entier surestime la résistance au glissement d'environ 30 %.
✓Comment l'éviter :Employez l'angle de frottement sol-mur réduit, comme le fait ce calculateur avec tan(⅔φ'). Pour une semelle coulée directement contre le sol non remanié, une valeur plus élevée peut se justifier sur preuve.
Compter sur la butée au patin
Pourquoi c'est important :La butée devant le mur est réelle mais exige un déplacement important pour se mobiliser, et le sol peut disparaître plus tard par terrassement, érosion ou ouverture d'une tranchée de réseaux.
✓Comment l'éviter :Négligez la butée dans la vérification au glissement, comme le fait ce calculateur, ou ne comptez que la part située sous une profondeur qui ne peut pas être décaissée. C'est l'hypothèse la plus susceptible d'être invalidée après construction.
S'arrêter au glissement et au renversement
Pourquoi c'est important :La contrainte sur le sol sous le patin et l'excentrement de la résultante sont des vérifications distinctes, et elles gouvernent fréquemment un mur qui passe les deux contrôles de stabilité. Si la résultante sort du tiers central de la semelle, une traction apparaît sous le talon.
✓Comment l'éviter :Vérifiez la portance et confirmez que la résultante tombe dans le tiers central. Vérifiez aussi le calcul structural du voile et de la semelle, que ce calcul n'aborde pas du tout.
Applications pratiques
▸Prédimensionner un mur de soutènement poids
▸Vérifier une largeur de semelle au glissement et au renversement
▸Comparer des remblais par leur effet sur la poussée
▸Évaluer un mur existant sous un chargement modifié
▸Estimer les efforts latéraux sur des murs de sous-sol et des culées
▸Filtrer une géométrie de mur avant l'étude détaillée
Cas d'usage par secteur
Terrassements de génie civil
Les murs-poids se dimensionnent en itérant la largeur de semelle jusqu'à satisfaire les deux vérifications, et la réponse tombe typiquement entre 0,5 et 0,7 fois la hauteur du mur. En deçà de 0,5 H environ, c'est le glissement qui échoue en premier, d'où la récurrence de ce rapport comme règle de pouce.
Ouvrages routiers
Culées et murs de soutènement supportent une surcharge de trafic derrière eux, couramment modélisée par une charge uniforme de 10 à 20 kPa. Comme elle agit à mi-hauteur et non au tiers, elle contribue de façon disproportionnée au moment de renversement.
Expertise de sinistres
Un drainage obstrué est la constatation la plus fréquente lorsqu'un mur de soutènement se ruine. L'eau à pleine pression hydrostatique triple à peu près la poussée pour laquelle le mur avait été calculé, ce qui fait traiter barbacanes et couches drainantes comme des éléments structuraux et non comme des détails.
Conseils pratiques
💡Une largeur de semelle de 0,5 à 0,7 fois la hauteur est le point de départ habituel.
💡Le glissement gouverne plus souvent que le renversement — lisez-le en premier.
💡La résistance au renversement croît en B², celle au glissement seulement en B : d'où leur divergence.
💡5° d'angle de frottement en plus ont amélioré le glissement de 45 % dans l'exemple ci-dessus.
💡L'eau à pleine pression hydrostatique triple à peu près la poussée — le drainage est structural.
💡Une bêche revient en général moins cher que la largeur supplémentaire pour corriger un glissement.
Avantages et limites
Avantages
✓Applique directement la théorie de Rankine, sans hypothèse cachée dans le calcul de poussée
✓Vérifie les deux modes de stabilité et montre lequel gouverne
✓Rend visibles les sensibilités différentes des deux vérifications
✓Assez rapide pour itérer la largeur de semelle en phase d'esquisse
✓Assez simple pour se vérifier à la main lors d'une relecture
Limites
!Modélise un mur-poids rectangulaire, non un mur en console avec talon
!Néglige le poids des terres sur le talon, qui aide substantiellement un mur en console
!Néglige la butée au patin — de façon conservative, et délibérément
!Ne tient pas compte d'une surcharge derrière le mur
!Suppose l'absence de pression d'eau ; un remblai saturé peut tripler la poussée
!Ne vérifie ni la contrainte sur le sol ni l'excentrement de la résultante, souvent dimensionnants
!Suppose un remblai horizontal et un parement vertical lisse, comme l'exige la théorie de Rankine
!N'aborde pas le calcul structural du voile ni de la semelle
Les deux coefficients face à la largeur de semelle
Un mur en béton de 3 m retenant un sol à φ' = 30°. La résistance au renversement croît comme le carré de la largeur de semelle et celle au glissement seulement linéairement : les deux colonnes s'écartent — et c'est celle du glissement qui reste près de sa limite.
Mur-poids en béton de 3 m, φ' = 30°, γ = 18 kN/m³, mur à 24 kN/m³. Les minima sont 2,0 au renversement et 1,5 au glissement. Ni surcharge ni pression d'eau ne sont incluses.
Ka est le rapport de la contrainte effective horizontale à la contrainte verticale lorsque le sol a suffisamment cédé pour mobiliser sa résistance au cisaillement. Rankine donne Ka = tan²(45° − φ'/2), soit 0,333 pour φ' = 30° et 0,271 pour 35°.
Comment calculer la poussée sur un mur de soutènement ?
Pa = ½·Ka·γ·H², ce qui donne la résultante par mètre linéaire appliquée au tiers de la hauteur au-dessus de la base. Un mur de 3 m retenant un sol à φ' = 30° et γ = 18 kN/m³ reçoit ainsi 27 kN/m.
Quel coefficient de sécurité un mur de soutènement demande-t-il ?
Typiquement 2,0 au renversement et 1,5 au glissement, valeurs reprises par la pratique courante. Les deux doivent être satisfaits, et ils répondent différemment à la largeur de semelle : satisfaire l'un n'implique donc nullement l'autre, ce qui impose de mener les deux vérifications séparément.
Qui gouverne d'ordinaire, le glissement ou le renversement ?
Le glissement. La résistance au renversement croît comme le carré de la largeur de semelle alors que celle au glissement ne croît que linéairement : le glissement progresse donc plus lentement et constitue en général la vérification dimensionnante d'un mur-poids.
Quelle largeur de semelle pour un mur-poids ?
Entre 0,5 et 0,7 fois la hauteur du mur est le point de départ habituel. En deçà de 0,5 H environ, c'est le glissement qui échoue en premier, ce qui explique précisément pourquoi ce rapport revient comme règle de pouce dans la pratique.
Pourquoi le drainage derrière un mur est-il si important ?
Parce que l'eau exerce une pression hydrostatique pleine, de coefficient 1,0, contre environ 0,33 pour le sol. Un remblai saturé peut tripler la poussée pour laquelle le mur a été calculé, et le drainage obstrué est la constatation la plus fréquente en expertise de sinistre.
Quel effet l'angle de frottement du remblai a-t-il sur le calcul ?
Un effet fort, et par deux voies à la fois. Élever φ' abaisse Ka et donc la poussée, et augmente le frottement en base qui s'oppose au glissement. Une hausse de 5°, de 30 à 35°, a amélioré le coefficient au glissement de 45 % dans l'exemple ci-dessus.
Qu'est-ce qu'une bêche ?
Un décrochement coulé sous la semelle, pénétrant dans le sol au-dessous. Il mobilise la butée au lieu de s'en remettre au seul frottement en base, et revient en général moins cher que la largeur de semelle supplémentaire nécessaire pour corriger un glissement par la seule géométrie.
Faut-il intégrer une surcharge derrière le mur ?
Oui, y compris les charges temporaires de chantier. Une surcharge uniforme q ajoute une poussée Ka·q·H appliquée à mi-hauteur. Sur un mur de 3 m, une surcharge de 10 kPa ajoute environ 10 kN/m — plus du tiers de la poussée des terres.
Qu'est-ce que la règle du tiers central ?
La résultante de toutes les forces verticales doit tomber dans le tiers central de la largeur de semelle. À l'extérieur, une traction apparaît sous le talon et la répartition des contraintes sous la semelle devient triangulaire, avec un pic bien plus élevé au patin.
Glossaire
Poussée active
La pression latérale minimale qu'exerce un sol une fois qu'il a cédé assez pour mobiliser sa résistance au cisaillement.
Théorie de Rankine
Théorie classique de la poussée des terres, pour un mur vertical lisse et un remblai horizontal.
Ka
Le coefficient de poussée active, tan²(45° − φ'/2) pour un remblai horizontal.
Butée
La résistance maximale d'un sol comprimé, disponible au patin mais exigeant un grand déplacement pour se mobiliser.
Renversement
Rotation d'un mur autour de son patin sous le moment de la poussée latérale des terres.
Glissement
Translation horizontale d'un mur, reprise par le frottement sous sa semelle.
Bêche
Décrochement sous la semelle d'un mur, mobilisant la butée pour améliorer la stabilité au glissement.
Surcharge
Charge appliquée à la surface du terrain derrière un mur, ajoutant une pression latérale uniforme sur toute la hauteur.
Règle du tiers central
L'exigence que la résultante tombe dans le tiers central de la semelle, évitant une traction sous le talon.
Mur-poids
Mur tenant par sa seule masse, par opposition à un mur en console utilisant le poids des terres sur son talon.
Références scientifiques et normatives
Rankine, W. J. M., On the Stability of Loose Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society (1857) — Royal Society
NF EN 1997-1 (Eurocode 7) § 9 — Ouvrages de soutènement — AFNOR
NF P 94-281 — Justification des ouvrages géotechniques : murs de soutènement — AFNOR
Bowles, J. E., Foundation Analysis and Design, 5ᵉ édition — chapitre 12 : murs de soutènement — McGraw-Hill
Le coefficient de poussée active de Rankine donne la poussée sur un mur de soutènement par ½·Ka·γ·H², et les deux vérifications de stabilité qui en découlent réagissent très différemment à la seule variable qui compte vraiment. La résistance au renversement croît comme le carré de la largeur de semelle, celle au glissement seulement linéairement — le glissement est donc normalement la vérification dimensionnante, et la largeur qui le satisfait tombe entre 0,5 et 0,7 fois la hauteur du mur. La qualité du remblai est l'autre levier puissant, puisque élever l'angle de frottement réduit la poussée et augmente simultanément le frottement en base. Ce que ce modèle laisse de côté compte autant que ce qu'il inclut : pas de surcharge, pas de pression d'eau, aucune vérification de portance ni d'excentrement — et un remblai saturé peut tripler la poussée pour laquelle un mur a été calculé.
Dimensionnez votre mur ci-dessus, puis balayez la largeur de semelle dans le graphique pour voir les deux coefficients diverger.
