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Terzaghi répartit la résistance en trois termes — cohésion, surcharge et poids propre — et seul le terme de surcharge récompense un encastrement plus profond.
La portance provient de trois sources — la cohésion, la surcharge au-dessus du niveau d'assise et la largeur de la semelle elle-même — chacune multipliée par un facteur dépendant de l'angle de frottement. Saisissez les paramètres du sol, les dimensions de la semelle et un coefficient de sécurité pour obtenir la portance ultime, la contrainte admissible nette et le facteur de portance Nc.
Calculateur
Unités :
kPa
Cohésion effective. Employez la cohésion non drainée avec φ' = 0 pour une argile
°
Sable lâche 28 à 32, sable dense 35 à 42, argile non drainée 0
kN/m³
Poids volumique apparent du sol
m
La plus petite dimension en plan de la semelle
m
Profondeur du sous-face de la semelle
3,0 est la valeur conventionnelle pour la portance
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir la portance ultime, la contrainte admissible nette après application du coefficient de sécurité, la contrainte admissible brute et le facteur de portance Nc. L'admissible nette est le chiffre à comparer à la contrainte nette qu'apporte une semelle.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Emploie l'équation à trois termes de Terzaghi avec les facteurs de portance de Vesic
✓Distingue contrainte admissible nette et brute, régulièrement confondues
✓Affiche les trois contributions séparément, rendant visible le terme dominant
✓Alerte quand la portance dépend de la largeur de semelle plutôt que du sol
✓Le graphique de sensibilité montre la force du pilotage par l'angle de frottement
✓Liens partageables et export CSV pour les pièces de conception
Qu'est-ce que la portance du sol ?
La portance est la contrainte à laquelle le sol situé sous une semelle rompt par cisaillement, refoulant le terrain latéralement et vers le haut. Terzaghi l'a exprimée en trois termes additifs : c'·Nc issu de la cohésion du sol, q·Nq issu du poids des terres au-dessus du niveau d'assise qui surcharge la surface de rupture, et 0,5·γ·B·Nγ issu du poids du sol contenu dans le coin de rupture lui-même. Chaque facteur N ne dépend que de l'angle de frottement, et les trois croissent fortement avec lui.
Contrainte admissible nette contre brute
Le sol au niveau d'assise supporte déjà le poids des terres qui ont été excavées. Cette contrainte n'est pas nouvelle : on la déduit donc avant d'appliquer le coefficient de sécurité, puis on la rajoute ensuite. La contrainte admissible nette — ce qu'une semelle peut ajouter au-delà de ce qui existait déjà — est le chiffre à comparer à la contrainte nette d'une semelle. Confondre les deux surestime la capacité disponible de toute la surcharge, soit 27 kPa à 1,5 m de profondeur dans un sol ordinaire.
Pourquoi argile et sable se comportent à l'opposé
Dans une argile saturée examinée en non drainé, φ' vaut zéro : Nq vaut donc 1 et Nγ vaut zéro — le terme de largeur disparaît entièrement et la portance ne dépend plus du tout de la taille de la semelle. Dans un sable, c' vaut zéro et toute la portance provient des deux termes dépendant de la semelle : une semelle plus large ou plus profonde gagne donc directement en capacité. C'est pourquoi une contrainte admissible unique signifie quelque chose pour une argile et bien moins pour un sable.
Formule
q_ult = c'·Nc + q·Nq + 0,5·γ·B·Nγ
Équation de portance de Terzaghi pour une semelle filante, avec les facteurs de Vesic
Formules associées
Nq = e^(π·tanφ') · tan²(45° + φ'/2)
Nc = (Nq − 1) / tanφ', Nγ = 2(Nq + 1)·tanφ'
q_adm,nette = (q_ult − q) / CS
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
c'
Cohésion
kPa
Cohésion effective, ou cohésion non drainée dans le cas φ' = 0.
φ'
Angle de frottement
°
Angle de frottement effectif. Les facteurs de portance croissent fortement avec lui.
γ
Poids volumique du sol
kN/m³
Poids volumique apparent, typiquement 17 à 20 kN/m³.
B
Largeur de semelle
m
La plus petite dimension en plan. Elle entre directement dans le terme de largeur.
D
Profondeur d'assise
m
Profondeur du sous-face de la semelle, qui fournit la surcharge.
CS
Coefficient de sécurité
—
Conventionnellement 3,0 sur la portance.
Comment utiliser ce calculateur
Employez des paramètres drainés ou non drainés de façon cohérentePour les conditions à long terme dans tout sol, employez les paramètres effectifs c' et φ'. Pour un chargement à court terme d'une argile saturée, employez la cohésion non drainée comme c avec φ' = 0. Mélanger les deux — une résistance non drainée avec un angle de frottement drainé — surestime largement la portance.
Saisissez la plus petite dimension en plan comme BLe terme de largeur emploie la plus petite dimension de semelle, car c'est elle qui gouverne la taille du coin de rupture. Ce calcul vise une semelle filante ; les semelles carrées et circulaires portent des coefficients de forme qui majorent les termes de cohésion et de largeur.
Mesurez la profondeur d'assise sous la semelleLa surcharge est le poids des terres au-dessus du niveau d'assise : D se mesure donc au sous-face de la semelle et non à son arase supérieure. Descendre l'assise augmente la portance par le terme Nq, ce qui est souvent moins cher qu'élargir la semelle.
Comparez du net à du netLa contrainte admissible nette est ce qu'une semelle peut ajouter au-delà des terres déjà présentes. Comparez-la à la contrainte nette apportée — charge totale divisée par la surface, moins les terres retirées — et non à la contrainte brute.
Vérifiez les tassements séparémentIl s'agit ici de portance, non de tassement. Les semelles sur argile sont presque toujours dimensionnées par le tassement plutôt que par la rupture par cisaillement : satisfaire ce calcul est nécessaire mais fréquemment insuffisant.
Exemples résolus
Exemple 1
Une semelle filante de 2 m de large, assise à 1,5 m de profondeur dans un sable pulvérulent à φ' = 32° et de poids volumique 18 kN/m³, avec un coefficient de sécurité de 3.
Solution étape par étape
Facteurs de portance à φ' = 32° : Nq = 23,1768, Nc = 35,4903, Nγ = 30,2147
Surcharge au niveau d'assise : q = γ·D = 18 × 1,5 = 27,0 kPa
Terme de cohésion : c'·Nc = 0 × 35,4903 = 0 kPa — le sol est pulvérulent
Terme de surcharge : q·Nq = 27,00 × 23,1768 = 625,77 kPa
Terme de largeur : 0,5·γ·B·Nγ = 0,5 × 18 × 2 × 30,2147 = 543,86 kPa
Interprétation : le terme de largeur apporte 46 % de la portance, de sorte que ce chiffre appartient à une semelle de 2 m. Une semelle plus étroite sur un sable identique donnerait une contrainte admissible plus faible.
Exemple 2
Le même sable avec différentes largeurs de semelle, puis le cas contraire de l'argile non drainée où la largeur ne joue aucun rôle.
Solution étape par étape
Sur un sable à φ' = 32°, en ne faisant varier que la largeur : 1 m donne 290,2 kPa admissibles nets, 2 m donne 380,9, 4 m donne 562,2
Quadrupler la largeur a presque doublé la contrainte admissible, le terme de largeur croissant en proportion directe de B
Prenons maintenant une argile non drainée à c = 50 kPa et φ' = 0. Alors Nc = 5,14, Nq = 1 et Nγ = 0.
Portance ultime : 50 × 5,14 + 27,0 × 1 + 0 = 257 + 27 = 284,0 kPa, quelle que soit la largeur de semelle
Doubler la résistance de l'argile à 100 kPa donne 541,0 kPa — une hausse d'exactement 257 kPa, soit 50 × 5,14. La relation est parfaitement linéaire en c.
Les deux sols se comportent de façon opposée. Dans un sable, la contrainte admissible est une propriété de la semelle autant que du terrain : une semelle plus large est récompensée deux fois, par sa surface et par la contrainte plus élevée qu'elle peut y appliquer.
Dans une argile, la contrainte admissible est véritablement une propriété du sol, et une semelle plus large ne gagne que par sa surface. Mais les semelles sur argile sont presque toujours dimensionnées par le tassement plutôt que par la portance : le calcul de portance est rarement celui qui les dimensionne.
Sensibilité à l'angle de frottement
La portance croît exponentiellement avec l'angle de frottement, parce que les facteurs contiennent e^(π·tanφ'). Quelques degrés en haut de la plage valent plus que les mêmes degrés en bas. Le marqueur indique votre angle actuel.
Contrainte admissible netteen fonction deAngle de frottement (φ')
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de Contrainte admissible nette en fonction de Angle de frottement (φ'). Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de angle de frottement (φ').
Comment interpréter le résultat
La contrainte admissible nette est la valeur de projet. Sa composition compte aussi — une portance dominée par le terme de largeur est une portance qui change dès que la semelle change.
Contrainte admissible nette : < 75Portance faible — les fondations superficielles conviennent mal
Une contrainte admissible nette de < 75 kPa est faible. Argiles molles, remblais lâches et sols organiques se situent dans cette plage, et les semelles superficielles y deviennent vite très grandes. Amélioration de sol, radier ou pieux sont les alternatives habituelles, et le tassement gouvernera presque certainement avant la portance.
Une contrainte admissible nette de 75 – 200 kPa correspond à un terrain ordinaire ferme et convient à la plupart des constructions de faible hauteur. Vérifiez le tassement, qui à cette raideur dimensionne fréquemment la semelle plutôt que la portance.
Une contrainte admissible nette de 200 – 500 kPa correspond à un terrain compétent pour des fondations superficielles. Vérifiez quelle part provient du terme de largeur — si celui-ci domine, la valeur s'applique à cette largeur de semelle et non au site en général.
Contrainte admissible nette : ≥ 500Portance très élevée
Une contrainte admissible nette de ≥ 500 kPa correspond à un sol granulaire dense ou à du rocher. Vérifiez les paramètres qui l'ont produite : les angles de frottement supérieurs à 40° environ sont rares, et la forme exponentielle des facteurs rend le résultat très sensible à eux.
Facteur de portance Nc : < 5,2Cas de l'argile non drainée
Un Nc de < 5,2 indique la condition non drainée φ' = 0, où Nγ vaut zéro et où la portance ne dépend pas de la largeur de semelle. Pour une argile, attendez-vous à ce que le tassement, et non la portance, gouverne le dimensionnement.
Erreurs courantes à éviter
Confondre contrainte admissible nette et brute
Pourquoi c'est important :Le sol au niveau d'assise supporte déjà les terres excavées : cette contrainte n'est pas une charge nouvelle. Comparer une admissible brute à une contrainte appliquée nette — ou l'inverse — introduit une erreur égale à la surcharge, soit 27 kPa à 1,5 m dans un sol ordinaire.
✓Comment l'éviter :Comparez du net à du net. La contrainte appliquée nette est la charge totale sur la surface, moins les terres retirées par le terrassement.
Prendre la contrainte admissible pour une propriété du sol
Pourquoi c'est important :Dans un sol pulvérulent, deux des trois termes dépendent de la semelle. L'exemple traité donne 290 kPa pour une semelle de 1 m et 562 kPa pour une semelle de 4 m sur un sable identique — le terrain n'a pas changé, seule la semelle.
✓Comment l'éviter :Recalculez pour les dimensions réelles de la semelle. Lorsqu'un rapport cite une contrainte admissible unique, cherchez quelles largeur et profondeur de semelle il a supposées.
Mélanger paramètres drainés et non drainés
Pourquoi c'est important :Employer une cohésion non drainée comme c' à côté d'un angle de frottement drainé compte deux fois la même résistance. C'est une grosse erreur, et toujours du côté défavorable à la sécurité.
✓Comment l'éviter :Choisissez un cadre et tenez-vous-y : c' avec φ' pour le long terme drainé, ou cohésion non drainée avec φ' = 0 pour le chargement à court terme d'une argile saturée.
Vérifier la portance sans vérifier le tassement
Pourquoi c'est important :Rupture par poinçonnement et tassement excessif sont deux états limites distincts. Les semelles sur argile atteignent presque toujours un tassement inacceptable bien avant d'approcher la rupture par cisaillement : la seule vérification de portance ne les dimensionne donc pas.
✓Comment l'éviter :Calculez le tassement séparément et comparez-le à la tolérance de l'ouvrage. Une semelle peut avoir besoin d'être plusieurs fois plus grande que la portance ne l'exige.
Ignorer la forme de la semelle
Pourquoi c'est important :L'équation telle qu'écrite vise une semelle filante, de longueur infinie. Les semelles carrées et circulaires mobilisent davantage de résistance et portent des coefficients de forme qui majorent les termes de cohésion et de largeur, typiquement de 20 à 30 %.
✓Comment l'éviter :Appliquez les coefficients de forme pour les semelles carrées, rectangulaires et circulaires. Employer le résultat filant tel quel est conservatif, ce qui explique qu'on le laisse souvent en l'état.
Trop de confiance dans l'angle de frottement
Pourquoi c'est important :Les facteurs de portance contiennent e^(π·tanφ') : ils croissent donc exponentiellement. Entre 30° et 35°, la portance ultime de l'exemple double presque, ce qui fait de quelques degrés d'optimisme sur le paramètre une grosse erreur sur le résultat.
✓Comment l'éviter :Employez une valeur caractéristique prudente plutôt qu'une moyenne, et rappelez-vous que le coefficient de sécurité de 3 existe autant pour la dispersion des paramètres que pour l'incertitude sur les charges.
Applications pratiques
▸Dimensionner des semelles isolées et filantes
▸Contrôler une contrainte admissible supposée
▸Comparer des profondeurs d'assise sur la portance
▸Évaluer l'effet de la largeur de semelle sur la contrainte admissible
▸Filtrer les conditions de terrain pour la faisabilité de fondations superficielles
▸Contrôler la valeur citée par un rapport de reconnaissance
Cas d'usage par secteur
Fondations de bâtiment
Les rapports de reconnaissance citent une contrainte admissible, mais ce chiffre suppose déjà une taille et une profondeur de semelle. Pour un terrain granulaire, l'hypothèse compte, le terme de largeur pouvant fournir près de la moitié de la portance — un concepteur employant une autre semelle obtient une autre réponse.
Évaluation géotechnique
Le coefficient de sécurité de 3,0 sur la portance est inhabituellement grand par rapport aux usages de la structure, et il existe parce que les paramètres de sol sont tirés d'une poignée d'échantillons couvrant un site entier. C'est la dispersion, et non le chargement, qui commande la marge.
Reprise en sous-œuvre
Une reprise en sous-œuvre augmente la profondeur d'assise, ce qui relève la portance par le terme de surcharge. Comme Nq est grand pour un sol granulaire — 23 à φ' = 32° — chaque mètre supplémentaire apporte bien davantage que le poids des terres qu'il représente.
Conseils pratiques
💡Les facteurs de portance croissent exponentiellement avec φ', par e^(π·tanφ').
💡À φ' = 0, Nc vaut exactement 5,14 et le terme de largeur disparaît entièrement.
💡Dans un sable, la contrainte admissible dépend de la semelle autant que du sol.
💡Comparez du net à du net — la surcharge n'est pas une charge nouvelle pour le sol.
💡Les semelles sur argile sont presque toujours dimensionnées par le tassement, non la portance.
💡Le coefficient de sécurité de 3 couvre la dispersion des paramètres plus que les charges.
Avantages et limites
Avantages
✓Emploie les facteurs de Vesic, qui reproduisent les tables publiées au chiffre près
✓Sépare admissible nette et brute, régulièrement confondues
✓Affiche les trois termes individuellement, rendant visible celui qui gouverne
✓Traite aussi bien le cas drainé que le cas non drainé φ' = 0
✓Alerte quand le résultat est une propriété de la semelle plutôt que du terrain
Limites
!Semelle filante seulement — les semelles carrées et circulaires exigent des coefficients de forme
!Suppose un chargement vertical centré ; les coefficients d'inclinaison et d'excentrement ne sont pas appliqués
!Suppose un sol homogène sur au moins 1,5 fois la largeur de semelle
!Ne tient pas compte de la nappe, qui réduit fortement le poids volumique effectif
!Donne la portance, non le tassement, qui gouverne d'ordinaire sur argile
!Suppose une surface de terrain horizontale et un plan d'assise horizontal
!N'aborde ni le poinçonnement ni la rupture locale dans les sols lâches ou mous
Sable et argile comparés
Une semelle à 1,5 m de profondeur dans un sol à 18 kN/m³, coefficient de sécurité 3. Les lignes de sable font varier la largeur ; les lignes d'argile font varier la résistance. Observez à quel paramètre chacune répond.
Profondeur d'assise 1,5 m, γ = 18 kN/m³, CS 3. Les lignes de sable quadruplent la largeur et doublent presque la contrainte admissible. Les lignes d'argile sont identiques pour toute largeur, puisque Nγ vaut zéro à φ' = 0 — et doubler la cohésion ajoute exactement 50 × 5,14 = 257 kPa à chaque fois.
Employez l'équation de Terzaghi q_ult = c'·Nc + q·Nq + 0,5·γ·B·Nγ, avec les facteurs de portance tirés de l'angle de frottement. Divisez ensuite l'ultime nette par un coefficient de sécurité, conventionnellement 3, pour obtenir la contrainte admissible nette de projet.
Quelle différence entre contrainte admissible nette et brute ?
La brute inclut la contrainte des terres déjà présentes au niveau d'assise ; la nette est ce que la semelle peut ajouter au-delà. Comparez du net à du net, faute de quoi l'erreur égale la surcharge — 27 kPa à 1,5 m de profondeur dans un sol ordinaire.
Pourquoi Nc vaut-il 5,14 pour une argile ?
À φ' = 0, l'expression générale de Nc se réduit à π + 2 = 5,14. C'est un résultat analytique exact pour les conditions non drainées, et c'est pourquoi la portance d'une argile non drainée est souvent citée comme 5,14 fois la cohésion non drainée.
La largeur de semelle influe-t-elle sur la portance ?
Dans un sable, considérablement — le terme de largeur croît en proportion de B, donnant 290 kPa pour une semelle de 1 m et 562 pour une semelle de 4 m sur un terrain identique. Dans une argile non drainée, pas du tout, puisque Nγ vaut zéro.
Quel coefficient de sécurité employer ?
3,0 est la valeur conventionnelle pour la portance. Elle est grande par rapport aux usages du calcul de structure parce que les paramètres de sol portent une dispersion considérable, étant tirés de quelques échantillons seulement pour un site entier. C'est la dispersion qui commande la marge.
Descendre l'assise augmente-t-il la portance ?
Oui, par le terme de surcharge. À φ' = 32°, le facteur Nq vaut 23,18 : chaque mètre supplémentaire de profondeur ajoute donc 18 × 23,18 = 417 kPa à la portance ultime — bien plus que le poids des terres correspondantes.
Portance ou tassement, quelle vérification gouverne ?
Sur argile, le tassement gouverne presque toujours. Sur sable dense, la portance est plus souvent la limite. Les deux doivent être vérifiés, et une semelle peut avoir besoin d'être plusieurs fois plus grande que la seule portance ne l'exigerait pour rester dans les tassements admis.
Comment la nappe affecte-t-elle la portance ?
Sensiblement. L'eau réduit le poids volumique effectif à environ la moitié de sa valeur apparente, ce qui rabote à la fois le terme de surcharge et le terme de largeur. Lorsque la nappe se situe à moins d'une largeur de semelle sous la base, la réduction doit être appliquée.
Une semelle carrée a-t-elle la même portance qu'une semelle filante ?
Non, elle en a davantage. Les semelles carrées et circulaires mobilisent la résistance sur tout leur périmètre et portent des coefficients de forme qui majorent les termes de cohésion et de largeur, typiquement de 20 à 30 %. Le résultat filant leur est conservatif.
Quelle est la sensibilité du résultat à l'angle de frottement ?
Très forte. Les facteurs contiennent e^(π·tanφ') et croissent donc exponentiellement avec lui. Passer de 30° à 35° double presque la portance ultime, ce qui fait qu'une valeur caractéristique prudente compte bien davantage qu'une moyenne précise tirée de quelques essais de laboratoire.
Glossaire
Portance ultime
La contrainte à laquelle le sol sous une semelle rompt par cisaillement.
Contrainte admissible nette
La contrainte qu'une semelle peut ajouter au-delà des terres déjà présentes.
Facteurs de portance
Nc, Nq et Nγ, multiplicateurs sans dimension ne dépendant que de l'angle de frottement.
Surcharge
La contrainte due aux terres au-dessus du niveau d'assise, qui s'oppose au mécanisme de rupture.
Cohésion non drainée
La résistance d'une argile saturée sous chargement rapide, employée avec φ' = 0.
Paramètres en contraintes effectives
c' et φ', décrivant la résistance drainée du sol à long terme.
Coefficient de forme
Multiplicateur tenant compte d'une semelle carrée, rectangulaire ou circulaire plutôt que filante.
Poinçonnement
Mode de rupture local dans un sol lâche ou mou, distinct de la rupture générale.
Profondeur d'assise
La profondeur du sous-face de la semelle, qui fournit la surcharge.
Valeur caractéristique
Estimation prudente d'un paramètre de sol, située en deçà de la moyenne des essais.
Références scientifiques et normatives
Terzaghi, K., Theoretical Soil Mechanics (1943) — Wiley
Vesic, A. S., Analysis of Ultimate Loads of Shallow Foundations, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division (1973) — American Society of Civil Engineers
NF EN 1997-1 (Eurocode 7) annexe D — Méthode analytique de calcul de la résistance au poinçonnement — AFNOR
NF P 94-261 — Justification des ouvrages géotechniques : fondations superficielles — AFNOR
Bowles, J. E., Foundation Analysis and Design, 5ᵉ édition — chapitre 4 : portance des fondations — McGraw-Hill
Conclusion
La portance est une somme de trois termes, et celui qui domine change le sens du résultat. Dans une argile non drainée, seul le terme de cohésion subsiste — Nγ vaut zéro, la portance est donc véritablement une propriété du terrain et vaut pour toute largeur de semelle. Dans un sable, c'est le terme de cohésion qui disparaît, laissant deux termes dépendant tous deux de la semelle : le tableau ci-dessus montre 290 kPa admissibles nets pour une semelle de 1 m et 562 kPa pour une semelle de 4 m sur un sol identique. Une contrainte admissible citée sans taille de semelle en a déjà supposé une. Deux mises en garde s'ajoutent. Les facteurs de portance contiennent e^(π·tanφ') : ils croissent exponentiellement, et quelques degrés d'optimisme sur l'angle de frottement deviennent une grosse erreur — ce qui explique en bonne part que le coefficient de sécurité conventionnel soit de 3 et non de 1,5 comme en calcul de structure. Et il s'agit ici de portance, non de tassement : les semelles sur argile atteignent presque toujours un mouvement inacceptable bien avant d'approcher la rupture par cisaillement.
Saisissez vos paramètres de sol et vos dimensions de semelle ci-dessus pour obtenir la contrainte admissible.
