El coeficiente activo de Rankine es Ka = tan²(45° − φ'/2), y el empuje que produce sobre un muro es ½·Ka·γ·H². Introduce la altura del muro, el ángulo de rozamiento interno y el peso específico del terreno junto con el ancho y la densidad de la base para obtener Ka, el empuje activo y los coeficientes de seguridad al vuelco y al deslizamiento. Modela un muro de gravedad rectangular.
Calculadora
Unidades:
m
Altura de terreno contenido
°
Ángulo de rozamiento efectivo del relleno. Relleno granular 30–35°
kN/m³
Peso específico aparente del terreno contenido
m
Ancho de base. Apunta a entre 0,5 y 0,7 veces la altura del muro
kN/m³
Hormigón 24, fábrica 20–22 kN/m³
Resultado del cálculo
Pulsa Calcular para obtener el coeficiente de empuje activo, la resultante por metro de muro y los coeficientes de seguridad al vuelco y al deslizamiento. Deben cumplir los dos: 2,0 al vuelco y 1,5 al deslizamiento son los mínimos habituales.
Solución paso a paso
Ayuda de dimensionamiento preliminar. Los resultados siguen las fórmulas publicadas que se citan más abajo y están pensados para estimaciones, estudio y diseño preliminar. El proyecto definitivo debe verificarlo un ingeniero cualificado conforme a la normativa vigente donde se ejecute la obra.
Beneficios principales
✓Aplica directamente la teoría de empuje activo de Rankine
✓Comprueba el vuelco y el deslizamiento, que rara vez coinciden
✓Avisa automáticamente por debajo de los umbrales de 2,0 y 1,5
✓Hace visible que quien gobierna la estabilidad es el ancho de base y no el peso del muro
✓El gráfico de sensibilidad muestra ambos coeficientes respondiendo al ancho de base
✓Enlaces compartibles y exportación CSV para la memoria de cálculo
¿Qué es un muro de contención?
El terreno situado tras un muro empuja hacia fuera. Si el muro cede ligeramente alejándose del terreno — cosa que hace cualquier muro real —, el suelo moviliza su resistencia al corte y el empuje baja al estado activo, el mínimo que puede ejercer. La teoría de Rankine da ese estado para un muro vertical liso con relleno horizontal como Ka = tan²(45° − φ'/2), y el empuje crece linealmente con la profundidad, así que la resultante vale ½·Ka·γ·H² y actúa a un tercio de la altura sobre la base.
Por qué la altura importa mucho más de lo que parece
El empuje activo crece con el cuadrado de la altura del muro, y su brazo respecto a la puntera crece linealmente, así que el momento de vuelco crece con el cubo. Doblar la altura de un muro multiplica el momento de vuelco por ocho. El momento estabilizador que da el peso propio crece solo con el cuadrado del ancho de base para una altura dada, y por eso los muros de gravedad se ensanchan de forma desproporcionada a medida que ganan altura.
Dos comprobaciones que discrepan
El vuelco lo resiste el peso del muro actuando a media anchura de base, así que el momento estabilizador va con B². El deslizamiento lo resiste el rozamiento bajo la base, que va con B a secas. El deslizamiento mejora por tanto más despacio que el vuelco al ensanchar la base, y suele ser la comprobación que gobierna. Cuando no puede satisfacerse con anchura, el remedio habitual es un tacón hormigonado en la base.
Fórmula
K_a = tan²(45° − φ'/2)
Coeficiente de empuje activo de Rankine para relleno horizontal
Fórmulas relacionadas
P_a = ½ · K_a · γ · H²
CS_vuelco = (W · B/2) / (P_a · H/3)
CS_deslizamiento = (W · tan(⅔φ')) / P_a
K_p = tan²(45° + φ'/2)
Definición de variables
Símbolo
Variable
Unidad
Descripción
K_a
Coeficiente activo
—
Relación entre la tensión efectiva horizontal y la vertical en estado activo. 0,333 con φ' = 30°.
P_a
Empuje activo
kN/m
Empuje resultante por metro de muro, aplicado a un tercio de la altura sobre la base.
H
Altura del muro
m
Altura contenida. El momento de vuelco crece con su cubo.
φ'
Ángulo de rozamiento del terreno
°
Ángulo de rozamiento efectivo del terreno contenido. Los valores altos reducen Ka con fuerza.
γ
Peso específico del terreno
kN/m³
Peso específico aparente del relleno, típicamente de 17 a 20 kN/m³.
B
Ancho de base
m
Anchura de la base del muro. La variable dominante de la estabilidad.
γ_w
Peso específico del muro
kN/m³
Peso específico del material del muro; 24 kN/m³ en hormigón.
Cómo usar esta calculadora
Usa parámetros efectivos para el rellenoIntroduce el ángulo de rozamiento efectivo del terreno contenido. El relleno granular de 30 a 35° se prefiere tras los muros precisamente porque Ka cae con fuerza al subir φ': con 35° vale 0,271 frente a 0,333 con 30°, una reducción del 19 % del empuje.
Introduce la altura contenida completaMide desde la base del muro hasta la coronación del terreno contenido. Como el momento de vuelco crece con el cubo de la altura, subestimarla aquí tiene más consecuencias que cualquier otro dato.
Lee primero la comprobación de deslizamientoEl deslizamiento suele gobernar, porque su resistencia crece solo linealmente con el ancho de base mientras la del vuelco crece con el cuadrado. Si pasa el deslizamiento, el vuelco pasa casi siempre.
Contrasta cada coeficiente con su propio mínimoLos umbrales difieren: 2,0 al vuelco y 1,5 al deslizamiento son las exigencias habituales. Cumplir uno no implica cumplir el otro, y hay que satisfacer los dos.
Recuerda lo que este modelo omiteRepresenta un muro de gravedad rectangular. No tiene en cuenta el peso del terreno que gravita sobre el talón de un muro en ménsula, ni el empuje pasivo en la puntera, ni la sobrecarga tras el muro, ni la presión de agua, y tampoco comprueba la presión sobre el terreno ni la excentricidad en la base, que con frecuencia gobiernan.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un muro de gravedad de hormigón de 3,0 m con base de 1,5 m contiene un relleno granular con φ' = 30° y γ = 18 kN/m³. El hormigón pesa 24 kN/m³. Comprueba su estabilidad.
Valoración: el vuelco pasa con facilidad con 3,00, pero el deslizamiento con 1,46 se queda justo por debajo del mínimo de 1,5. Gobierna el deslizamiento, como suele ocurrir.
Ejemplo 2
El mismo muro con el relleno cambiado de φ' = 30° a φ' = 35°, el argumento para especificar relleno granular en lugar de emplear el material de la propia obra.
Empuje activo: Pa = ½ × 0,271 × 18 × 9 = 21,95 kN/m, un 19 % menos que con 30°
Momento de vuelco: 21,95 × 1,0 = 21,95 kN·m/m
El peso del muro y el momento estabilizador no cambian: 108,00 kN/m y 81,00 kN·m/m
CS al vuelco: 81,00 / 21,95 = 3,69, frente a los 3,00 anteriores
El rozamiento en la base emplea ahora el ángulo mayor: μ = tan(⅔ × 35°) = tan(23,33°) = 0,4314
CS al deslizamiento: (108,00 × 0,4314) / 21,95 = 46,59 / 21,95 = 2,12, frente a los 1,46 anteriores
El deslizamiento ha mejorado un 45 % con un cambio de 5° en el ángulo de rozamiento, porque gana por partida doble: el empuje baja y el rozamiento en la base sube.
Por eso especificar un relleno granular de préstamo sale tan a menudo más barato que ensanchar el muro para adaptarlo al terreno que ya hay en obra.
Sensibilidad al ancho de base
La resistencia al vuelco crece con el cuadrado del ancho de base mientras la del deslizamiento crece solo linealmente, así que las dos curvas divergen, y la que se queda baja es la del deslizamiento. Alterna entre ellas para verlo. El marcador señala el ancho de base introducido.
CS al deslizamientofrente aAncho de base del muro
Se recalcula en vivo con tus datos. El marcador señala tu valor actual.
Gráfico de líneas de CS al deslizamiento frente a Ancho de base del muro. Los mismos valores aparecen en la tabla de datos de abajo.
Valores representados arriba, muestreados en el rango de ancho de base del muro.
Cómo interpretar el resultado
Hay que satisfacer los dos coeficientes de seguridad, frente a umbrales distintos. 1,5 al deslizamiento y 2,0 al vuelco son los mínimos habituales, y la comprobación de deslizamiento es la primera que hay que leer porque normalmente gobierna.
CS al deslizamiento: < 1El muro deslizará
Un coeficiente de seguridad al deslizamiento de < 1 está por debajo de 1,0, así que el rozamiento en la base no puede resistir el empuje del terreno. El muro se moverá. Ensancha la base, añade un tacón bajo ella o mejora el ángulo de rozamiento del relleno.
CS al deslizamiento: 1 – 1,5Deslizamiento por debajo del mínimo exigido
Un coeficiente de seguridad al deslizamiento de 1 – 1,5 se queda corto frente al 1,5 que suele exigirse. Ensanchar la base ayuda aquí solo de forma lineal, así que un tacón suele ser la solución más económica: moviliza el empuje pasivo en lugar de depender solo del rozamiento.
CS al deslizamiento: 1,5 – 3Deslizamiento satisfecho
Un coeficiente de seguridad al deslizamiento de 1,5 – 3 cumple el mínimo habitual de 1,5. Confirma también la comprobación de vuelco, y recuerda que este modelo omite la sobrecarga y la presión de agua, que reducen ambas el margen.
CS al deslizamiento: ≥ 3Resistencia al deslizamiento holgada
Un coeficiente de seguridad al deslizamiento de ≥ 3 queda muy por encima de lo exigido. Puede que la base sea más ancha de lo necesario: merece comprobar si un muro más estrecho sigue cumpliendo las dos comprobaciones, ya que el ancho de base gobierna el volumen de hormigón.
CS al vuelco: < 2Vuelco por debajo del mínimo exigido
Un coeficiente de seguridad al vuelco de < 2 está por debajo del 2,0 que se exige normalmente. Como el momento estabilizador crece con el cuadrado del ancho de base, ensancharla resulta aquí muy eficaz: un 20 % más de base sube este coeficiente en torno a un 44 %.
Ka (coeficiente activo): ≥ 0,4Coeficiente de empuje activo alto
Un coeficiente activo de ≥ 0,4 indica un ángulo de rozamiento bajo, propio de un relleno cohesivo o mal compactado. Ka sube con fuerza al bajar φ', así que traer relleno granular suele salir mucho más barato que construir el muro adaptado a un material flojo.
Errores comunes que evitar
Ignorar la presión de agua tras el muro
Por qué importa:El agua ejerce presión hidrostática plena con un coeficiente de 1,0, frente a una Ka de en torno a 0,33 en el terreno. Un relleno saturado puede por tanto triplicar el empuje, y la presión de agua sin drenar está detrás de buena parte de los fallos de muros de contención.
✓Cómo evitarlo:Dispón un relleno drenante y mechinales o una capa drenante, y proyéctalos como una exigencia permanente y no como un detalle. Cuando el drenaje no pueda garantizarse, calcula para el caso hidrostático.
Omitir la sobrecarga del lado del terreno
Por qué importa:Una carretera, un acopio o la maquinaria de obra tras un muro añaden una sobrecarga uniforme q, que produce un empuje adicional Ka·q·H aplicado a media altura. Es fácil pasarla por alto y puede ser una fracción grande del total.
✓Cómo evitarlo:Incluye cualquier sobrecarga, también la carga temporal de obra. Una sobrecarga de 10 kPa en un muro de 3 m añade unos 10 kN/m: más de un tercio del empuje del terreno del ejemplo anterior.
Comprobar el vuelco pero no el deslizamiento
Por qué importa:Los dos tienen umbrales distintos y sensibilidades distintas. La resistencia al vuelco crece con el cuadrado del ancho de base y la del deslizamiento solo linealmente, así que un muro puede pasar el vuelco con holgura y fallar el deslizamiento, que es exactamente lo que hace el caso por defecto de aquí.
✓Cómo evitarlo:Comprueba los dos. Lee primero el deslizamiento, porque suele gobernar el ancho de base de un muro de gravedad.
Suponer el rozamiento completo del terreno bajo la base
Por qué importa:El ángulo de rozamiento entre el hormigón y el terreno es menor que el ángulo de rozamiento interno del suelo, típicamente dos tercios de él. Emplear la φ' completa sobrestima la resistencia al deslizamiento en torno a un 30 %.
✓Cómo evitarlo:Usa el ángulo de rozamiento muro-terreno reducido, como hace esta calculadora con tan(⅔φ'). En una base hormigonada directamente contra terreno inalterado puede justificarse un valor mayor si hay evidencia.
Contar con el empuje pasivo en la puntera
Por qué importa:El empuje pasivo delante del muro es real, pero exige un movimiento considerable para movilizarse, y el terreno puede desaparecer después por una excavación, por erosión o por una zanja de servicios.
✓Cómo evitarlo:Desprecia el empuje pasivo en la comprobación de deslizamiento, como hace esta calculadora, o cuenta solo la parte situada por debajo de una profundidad que no pueda excavarse. Es la hipótesis con más probabilidades de invalidarse tras la construcción.
Quedarse en el deslizamiento y el vuelco
Por qué importa:La presión sobre el terreno bajo la puntera y la excentricidad de la resultante son comprobaciones aparte, y gobiernan con frecuencia un muro que pasa las dos de estabilidad. Si la resultante cae fuera del tercio central de la base, aparecen tracciones bajo el talón.
✓Cómo evitarlo:Comprueba la capacidad portante y confirma que la resultante queda dentro del tercio central. Comprueba también el cálculo estructural del alzado y de la base, que este cálculo no aborda en absoluto.
Aplicaciones prácticas
▸Predimensionar muros de contención por gravedad
▸Contrastar el ancho de base frente al deslizamiento y al vuelco
▸Comparar alternativas de relleno por su efecto sobre el empuje
▸Evaluar muros existentes ante una carga modificada
▸Estimar las acciones laterales sobre muros de sótano y estribos
▸Preseleccionar la geometría del muro antes del proyecto de detalle
Casos de uso por sector
Obra civil y explanaciones
Los muros de gravedad se dimensionan iterando el ancho de base hasta que pasan las dos comprobaciones, y la respuesta suele caer entre 0,5 y 0,7 veces la altura del muro. Por debajo de unos 0,5H falla primero el deslizamiento, y por eso esa relación aparece tan a menudo como regla práctica.
Estructuras de carretera
Los estribos y los muros de contención llevan detrás una sobrecarga de tráfico, modelada habitualmente como una carga uniforme de 10 a 20 kPa. Como actúa a media altura y no en el punto del tercio, contribuye de forma desproporcionada al momento de vuelco.
Investigación de patologías
El drenaje obstruido es el hallazgo más frecuente cuando falla un muro de contención. El agua a presión hidrostática plena triplica aproximadamente el empuje para el que se calculó el muro, y por eso los mechinales y las capas drenantes se tratan como elementos estructurales y no como detalles.
Consejos prácticos
💡Un ancho de base entre 0,5 y 0,7 veces la altura del muro es el punto de partida habitual.
💡El deslizamiento gobierna más a menudo que el vuelco: léelo primero.
💡La resistencia al vuelco crece con B² y la del deslizamiento solo con B, y por eso divergen.
💡Un aumento de 5° en el ángulo de rozamiento del relleno mejoró el deslizamiento un 45 % en el ejemplo anterior.
💡El agua a presión hidrostática plena triplica aproximadamente el empuje: el drenaje es estructural.
💡Un tacón suele salir más barato que el ancho adicional necesario para corregir un fallo de deslizamiento.
Ventajas y limitaciones
Ventajas
✓Aplica la teoría de Rankine directamente, sin hipótesis ocultas en el cálculo del empuje
✓Comprueba los dos modos de estabilidad y muestra cuál gobierna
✓Hace visibles las distintas sensibilidades de las dos comprobaciones
✓Lo bastante rápido para iterar el ancho de base en el anteproyecto
✓Lo bastante sencillo para verificarlo a mano en una revisión
Limitaciones
!Modela un muro de gravedad rectangular, no uno en ménsula con talón
!Desprecia el peso del terreno que gravita sobre el talón, que ayuda bastante a un muro en ménsula
!Desprecia el empuje pasivo en la puntera, del lado de la seguridad y de forma deliberada
!No tiene en cuenta la sobrecarga tras el muro
!Supone que no hay presión de agua; un relleno saturado puede triplicar el empuje
!No comprueba la presión sobre el terreno ni la excentricidad de la resultante, que a menudo gobiernan
!Supone relleno horizontal y trasdós vertical liso, como exige la teoría de Rankine
!No aborda el cálculo estructural del alzado ni de la base
Los dos coeficientes frente al ancho de base
Un muro de hormigón de 3 m que contiene terreno con φ' = 30°. La resistencia al vuelco crece con el cuadrado del ancho de base y la del deslizamiento solo linealmente, así que las dos columnas se separan, y la que se queda cerca de su límite es la del deslizamiento.
Muro de gravedad de hormigón de 3 m, φ' = 30°, γ = 18 kN/m³ y muro de 24 kN/m³. Los mínimos son 2,0 al vuelco y 1,5 al deslizamiento. No se incluyen sobrecarga ni presión de agua.
Ka es la relación entre la tensión efectiva horizontal y la vertical cuando el terreno ha cedido lo suficiente para movilizar su resistencia al corte. Rankine da Ka = tan²(45° − φ'/2), que vale 0,333 con φ' = 30° y 0,271 con 35°.
¿Cómo se calcula el empuje sobre un muro de contención?
Pa = ½·Ka·γ·H², que da la resultante por metro de muro aplicada a un tercio de la altura sobre la base. Un muro de 3 m con terreno de φ' = 30° y γ = 18 kN/m³ soporta 27 kN/m.
¿Qué coeficiente de seguridad necesita un muro de contención?
Típicamente 2,0 al vuelco y 1,5 al deslizamiento. Hay que satisfacer los dos, y responden de forma distinta al ancho de base, así que cumplir uno no implica cumplir el otro. El Eurocódigo 7 los plantea además por coeficientes parciales en lugar de globales, lo que conviene comprobar en proyecto.
¿Qué gobierna normalmente, el deslizamiento o el vuelco?
El deslizamiento. La resistencia al vuelco crece con el cuadrado del ancho de base mientras la del deslizamiento crece solo linealmente, así que mejora más despacio y suele ser la comprobación que ata en un muro de gravedad. Por eso el ancho de base se dimensiona casi siempre contra el deslizamiento.
¿Qué ancho de base debe tener un muro de gravedad?
Entre 0,5 y 0,7 veces la altura del muro es el punto de partida habitual. Por debajo de unos 0,5H falla primero el deslizamiento, que es justamente por lo que esa relación se repite como regla práctica. Ajústalo después con las dos comprobaciones y con la sobrecarga real.
¿Por qué es tan importante el drenaje tras un muro de contención?
Porque el agua ejerce presión hidrostática plena con un coeficiente de 1,0, frente a en torno a 0,33 del terreno. Un relleno saturado puede triplicar el empuje para el que se calculó el muro, y el drenaje obstruido es el hallazgo más frecuente en la investigación de fallos.
¿Cómo afecta al cálculo el ángulo de rozamiento del relleno?
Mucho, y de dos formas a la vez. Subir φ' baja Ka y por tanto el empuje, y sube el rozamiento en la base que resiste el deslizamiento. Un aumento de 5°, de 30 a 35°, mejoró el coeficiente al deslizamiento un 45 % en el ejemplo anterior.
¿Qué es un tacón?
Un resalto hormigonado en la cara inferior de la base, que penetra en el terreno situado debajo. Moviliza el empuje pasivo en lugar de depender solo del rozamiento en la base, y suele salir más barato que el ancho adicional necesario para corregir el deslizamiento solo con anchura.
¿Debo incluir la sobrecarga tras el muro?
Sí, también la carga temporal de obra. Una sobrecarga uniforme q añade un empuje Ka·q·H aplicado a media altura. En un muro de 3 m, una sobrecarga de 10 kPa añade unos 10 kN/m, más de un tercio del empuje del terreno.
¿Qué es la regla del tercio central?
La resultante de todas las fuerzas verticales debe caer dentro del tercio central del ancho de base. Fuera de él aparecen tracciones bajo el talón y la distribución de presiones se vuelve triangular, con un pico mucho mayor en la puntera.
Glosario
Empuje activo
El empuje lateral mínimo que ejerce el terreno una vez ha cedido lo suficiente para movilizar su resistencia al corte.
Teoría de Rankine
Teoría clásica de empujes para un muro vertical liso con relleno horizontal.
Ka
El coeficiente de empuje activo, tan²(45° − φ'/2) para relleno horizontal.
Empuje pasivo
La resistencia máxima que ofrece el terreno al comprimirse, disponible en la puntera pero que exige un gran movimiento para movilizarse.
Vuelco
Giro de un muro alrededor de su puntera bajo el momento del empuje lateral del terreno.
Deslizamiento
Traslación horizontal de un muro, resistida por el rozamiento bajo su base.
Tacón
Resalto bajo la base de un muro que moviliza el empuje pasivo para mejorar la estabilidad al deslizamiento.
Sobrecarga
Carga aplicada en la superficie del terreno tras un muro, que añade un empuje lateral uniforme en toda su altura.
Regla del tercio central
La exigencia de que la resultante caiga dentro del tercio central de la base, evitando tracciones bajo el talón.
Muro de gravedad
Muro que confía su estabilidad a su propia masa, a diferencia de un muro en ménsula que aprovecha el peso del terreno sobre el talón.
Referencias científicas y normativas
Rankine, W. J. M., On the Stability of Loose Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society (1857) — Royal Society
CTE DB SE-C, capítulo 6 — Elementos de contención — Ministerio de Vivienda y Agenda Urbana
Bowles, J. E., Foundation Analysis and Design, 5.ª edición — capítulo 12: Retaining Walls — McGraw-Hill
Guía de cimentaciones en obras de carretera — Ministerio de Transportes, Movilidad y Agenda Urbana
Conclusión
El coeficiente activo de Rankine da el empuje sobre un muro de contención como ½·Ka·γ·H², y las dos comprobaciones de estabilidad que siguen responden de forma bastante distinta a la variable que más importa. La resistencia al vuelco crece con el cuadrado del ancho de base y la del deslizamiento solo linealmente, así que el deslizamiento es normalmente la comprobación que gobierna, y el ancho de base que la satisface cae entre 0,5 y 0,7 veces la altura del muro. La calidad del relleno es la otra palanca fuerte, ya que subir el ángulo de rozamiento reduce el empuje y aumenta el rozamiento en la base a la vez. Lo que este modelo deja fuera importa tanto como lo que incluye: ni sobrecarga, ni presión de agua, ni comprobación de presión sobre el terreno o de excentricidad, y un relleno saturado puede triplicar el empuje para el que se calculó el muro.
Dimensiona tu propio muro arriba y después barre el ancho de base en el gráfico para ver cómo divergen los dos coeficientes.
