Une poutre encastrée à ses deux extrémités développe des moments à ses appuis avant même que le moindre calcul d'ossature ne commence. Sous charge répartie ce moment vaut wL²/12 ; sous charge ponctuelle centrée, PL/8. Saisissez la portée et l'une des charges ou les deux pour obtenir chaque contribution et leur somme — les valeurs de départ de toute distribution des moments ou analyse en rigidité.
Calculateur
Unités :
m
Portée libre entre les appuis encastrés
kN/m
Charge répartie sur la portée ; saisissez 0 s'il n'y en a pas
kN
Charge concentrée à mi-portée ; saisissez 0 s'il n'y en a pas
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir le moment d'encastrement dû à la charge répartie, la contribution de la charge ponctuelle centrée, et leur total. Les moments agissent aux deux appuis, de même intensité et de sens opposé.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Traite charge répartie, charge ponctuelle centrée, ou les deux par superposition
✓Donne chaque contribution séparément, rendant visible leur importance relative
✓Fournit les valeurs de départ de la distribution des moments et de l'analyse en rigidité
✓Contient le tableau complet des moments d'encastrement des cas de charge courants
✓Le graphique de sensibilité montre l'effet quadratique de la portée sur le terme réparti
✓Liens partageables et export CSV pour les notes de calcul
Qu'est-ce qu'un moment d'encastrement ?
Un moment d'encastrement est le moment qui se développe à l'appui d'une poutre dont l'extrémité ne peut pas tourner. Comme l'appui s'oppose à la rotation, il doit appliquer un moment à la poutre, et ce moment n'existe qu'en conséquence de ce blocage. Sous charge uniformément répartie il vaut wL²/12 à chaque extrémité ; sous charge concentrée à mi-portée, PL/8. Les deux fléchissent la poutre en sens contraire du moment de travée, ce qui explique qu'ils le réduisent.
Pourquoi la continuité est payante
Une poutre sur deux appuis simples sous charge répartie reprend wL²/8 à mi-portée et rien aux appuis. Encastrez les deux extrémités et le tableau change : wL²/12 apparaît à chaque appui et le moment de travée tombe à wL²/24, le tiers de la valeur sur appuis simples. Le moment maximal en tout point de la poutre passe de wL²/8 à wL²/12, soit 33 % de moins — obtenus par le seul blocage de la rotation, sans matière supplémentaire. C'est l'argument économique fondamental des constructions continues à nœuds rigides.
Le point de départ de la distribution des moments
Les ossatures réelles ne sont ni parfaitement encastrées ni parfaitement articulées ; les nœuds tournent d'un angle qui dépend des rigidités relatives de tout ce qui s'y rejoint. La distribution des moments traite cela en supposant d'abord l'encastrement parfait, en calculant les moments d'encastrement, puis en relâchant chaque nœud et en partageant le moment déséquilibré entre les barres au prorata de leur rigidité, avec report de la moitié de chaque correction à l'extrémité opposée. Chaque cycle de ce processus part des nombres que produit ce calculateur.
Formule
M_enc = wL² / 12
Moment d'encastrement à chaque appui d'une poutre bi-encastrée sous charge répartie
Formules associées
M_enc = PL / 8
M_A = Pab² / L², M_B = Pa²b / L²
M_travée = wL²/24
M_enc = wL² / 8
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
M_enc
Moment d'encastrement
kN·m
Moment développé à un appui où la rotation est entièrement empêchée.
w
Charge répartie
kN/m
Charge répartie sur toute la portée. Elle apporte wL²/12 à chaque extrémité.
P
Charge ponctuelle centrée
kN
Charge concentrée à mi-portée. Elle apporte PL/8 à chaque extrémité.
L
Portée
m
Distance entre appuis. Le terme réparti croît avec son carré, le terme ponctuel linéairement.
M_total
Moment d'encastrement total
kN·m
Somme des contributions individuelles, valable tant que la poutre reste linéaire et élastique.
Comment utiliser ce calculateur
Confirmez que les extrémités sont véritablement encastréesL'encastrement parfait exige que l'appui empêche complètement la rotation. Une poutre s'assemblant sur un poteau rigide ou coulée monolithiquement avec un voile s'en approche ; une platine boulonnée n'apporte qu'un blocage partiel, et le moment réel se situe entre les valeurs encastrée et sur appuis simples.
Saisissez la portée entre nus d'appuisEmployez la portée libre entre les points de blocage. Le terme de charge répartie varie avec le carré de la portée : une erreur de 5 % devient donc une erreur de 10 % sur le moment.
Saisissez chaque type de charge séparémentLaissez l'un des champs à zéro si cette charge ne s'applique pas. Le calculateur évalue chaque contribution indépendamment et les additionne, ce qui est valable tant que la poutre reste linéaire et élastique.
Notez le sens des momentsLes moments d'encastrement des deux appuis sont de même intensité et de sens opposé pour une charge symétrique, tous deux tendant à faire lever la poutre sur ses appuis. La face tendue est donc la fibre supérieure aux appuis et la fibre inférieure à mi-portée.
Reportez les valeurs dans l'analyse de l'ossaturePour une poutre continue ou une ossature, ce sont les valeurs de départ de la distribution des moments. Bloquez les nœuds, appliquez ces moments, puis relâchez chaque nœud à son tour en répartissant le déséquilibre selon les rigidités relatives.
Exemples résolus
Exemple 1
Une poutre de 6,0 m de portée est parfaitement encastrée à ses deux extrémités et porte une charge uniformément répartie de 10 kN/m. Cherchons les moments d'encastrement et comparons au cas sur appuis simples.
Solution étape par étape
Moment d'encastrement dû à la charge répartie : M = wL²/12 = 10 × 6,0² / 12
= 10 × 36 / 12 = 360 / 12 = 30,00 kN·m à chaque appui
Aucune charge ponctuelle n'est appliquée : la contribution ponctuelle vaut 0,00 kN·m
Moment d'encastrement total : 30,00 kN·m à chaque extrémité
Moment à mi-portée de la poutre encastrée : wL²/24 = 360/24 = 15,00 kN·m
Comparaison avec une poutre sur appuis simples : wL²/8 = 360/8 = 45,00 kN·m à mi-portée
Le moment maximal en tout point de la poutre encastrée vaut 30,00 kN·m contre 45,00 kN·m sur appuis simples — 33 % de moins, obtenus entièrement par le blocage des extrémités.
Exemple 2
La même poutre encastrée de 6,0 m, portant maintenant à la fois la charge répartie de 10 kN/m et une charge ponctuelle de 40 kN à mi-portée. La superposition combine les deux solutions indépendantes.
Solution étape par étape
Contribution de la charge répartie : M = wL²/12 = 10 × 36 / 12 = 30,00 kN·m
Contribution de la charge ponctuelle : M = PL/8 = 40 × 6,0 / 8 = 240 / 8 = 30,00 kN·m
Moment d'encastrement total : 30,00 + 30,00 = 60,00 kN·m à chaque appui
Les deux contributions se trouvent égales ici, coïncidence utile à remarquer : PL/8 égale wL²/12 lorsque P = 2wL/3, soit 40 kN pour cette poutre.
Moment à mi-portée : wL²/24 + PL/8 = 15,00 + 30,00 = 45,00 kN·m
Notez l'asymétrie entre types de charge : pour la charge répartie, le moment sur appui vaut le double du moment de travée, alors que pour la charge ponctuelle les deux sont d'intensité égale.
Conséquence de conception : à mesure que les charges ponctuelles prennent une part plus grande du total, l'avantage de l'encastrement diminue, car le cas ponctuel se redistribue moins favorablement que le cas réparti.
Sensibilité à la portée
Le terme de charge répartie croît avec le carré de la portée alors que le terme de charge ponctuelle croît linéairement : leur importance relative se déplace donc à mesure que la poutre s'allonge. Basculez entre les courbes pour comparer. Le marqueur indique votre portée actuelle.
Moment d'encastrement totalen fonction dePortée de la poutre (L)
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de Moment d'encastrement total en fonction de Portée de la poutre (L). Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de portée de la poutre (l).
Comment interpréter le résultat
Les moments d'encastrement sont des données d'analyse plutôt que des résultats à valider : aucun seuil réglementaire ne s'y applique. Ce qui compte, c'est la taille relative des deux contributions, et ce que le total implique pour la barre et ses assemblages.
Moment d'encastrement total : < 25Moments d'appui modestes
Un moment d'encastrement total de < 25 kN·m est modeste, dans la gamme des poutres secondaires et de l'ossature légère. Confirmez que l'assemblage peut véritablement développer ce moment — un nœud nominalement encastré qui ne le peut pas le renverra en travée.
Moment d'encastrement total : 25 – 200Plage courante des ossatures de bâtiment
Un moment d'encastrement total de 25 – 200 kN·m est normal pour les poutres d'ossature de bâtiment. Ce sont les valeurs de départ de la distribution des moments ; les moments d'appui définitifs après relâchement des nœuds seront plus faibles partout où les barres adjacentes ne sont pas infiniment rigides.
Moment d'encastrement total : ≥ 200Moments élevés — l'assemblage sera dimensionnant
Un moment d'encastrement total de ≥ 200 kN·m est substantiel, et le développer exige un assemblage à pleine résistance. À ce niveau, le détail du nœud coûte en général plus cher que la poutre, et une solution sur appuis simples avec une section plus haute peut revenir moins cher au total.
Moment d'encastrement (ponctuel) : ≥ 0,001Part de la charge ponctuelle dans le moment d'appui
La charge ponctuelle centrée ajoute ≥ 0,001 kN·m à chaque appui. Contrairement au terme de charge répartie, cette contribution ne croît que linéairement avec la portée : son importance relative diminue donc quand la poutre s'allonge.
Erreurs courantes à éviter
Supposer qu'un assemblage boulonné apporte un encastrement parfait
Pourquoi c'est important :L'encastrement parfait exige une rotation nulle. Une platine boulonnée ou un assemblage par cornières tourne sous charge : le moment d'appui réel reste donc en deçà de la valeur encastrée et le moment de travée croît d'autant.
✓Comment l'éviter :Classez l'assemblage en rigide, semi-rigide ou nominalement articulé selon le règlement applicable. Seuls les assemblages véritablement rigides développent tout le moment d'encastrement ; les nœuds semi-rigides exigent une rigidité en rotation dans l'analyse.
Employer wL²/12 pour une poutre encastrée-appuyée
Pourquoi c'est important :Une poutre encastrée d'un côté et articulée de l'autre est un problème différent. Son moment d'appui vaut wL²/8 et non wL²/12 — 50 % de plus — parce qu'aucun blocage opposé à l'autre extrémité ne vient partager le moment.
✓Comment l'éviter :Accordez la formule aux conditions d'appui réelles. Le tableau ci-dessous liste les cas courants ; identifier correctement les appuis compte davantage que la précision sur la charge.
Oublier que les moments d'encastrement tendent la fibre supérieure
Pourquoi c'est important :Les moments sur appui mettent la face supérieure de la poutre en traction, à l'inverse de la travée. En béton armé, cela détermine où placent les aciers supérieurs, et se tromper est une erreur de ferraillage grave.
✓Comment l'éviter :Tracez le diagramme des moments avant de ferrailler. Aciers supérieurs sur appuis, aciers inférieurs en travée, le changement se faisant aux points d'inflexion.
Prendre les moments d'encastrement pour des moments de calcul définitifs
Pourquoi c'est important :Dans une ossature réelle, les nœuds tournent et les moments se redistribuent. Le moment d'encastrement est la première étape de la distribution des moments, non son résultat — le moment d'appui définitif est typiquement plus faible.
✓Comment l'éviter :Menez la distribution des moments à son terme ou lancez une analyse en rigidité. N'employez les moments d'encastrement comme valeurs définitives que si les appuis bloquent véritablement toute rotation.
Ignorer la convention de signe en combinant les travées
Pourquoi c'est important :En distribution des moments, le sens de chaque moment compte. Additionner des intensités sans tenir compte du signe produit au nœud une valeur de déséquilibre entièrement fausse.
✓Comment l'éviter :Adoptez une convention — le sens horaire positif est courant — et appliquez-la partout. La plupart des erreurs de distribution des moments sont des erreurs de signe.
Négliger les tassements d'appui
Pourquoi c'est important :Une poutre bi-encastrée est sensible au déplacement relatif de ses appuis d'une façon qu'une poutre sur appuis simples n'est pas. Un tassement différentiel de quelques millimètres induit des moments supplémentaires substantiels dans une barre rigide.
✓Comment l'éviter :Lorsqu'un tassement est possible, intégrez le moment induit 6EIΔ/L² dans l'analyse, ou reconsidérez l'intérêt d'un encastrement parfait sur un sol compressible.
Applications pratiques
▸Valeurs de départ de la distribution des moments en poutres continues et ossatures
▸Prédimensionner des poutres bi-encastrées et continues
▸Estimer les moments d'appui pour le ferraillage du béton
▸Dimensionner les assemblages résistant au moment en construction métallique
▸Évaluer l'apport de la continuité face à une solution sur appuis simples
▸Vérifier les moments induits par tassement d'appui dans une barre rigide
Cas d'usage par secteur
Béton armé
Dalles et poutres continues sont coulées monolithiquement et se comportent comme encastrées sur appuis intermédiaires. Les moments d'encastrement déterminent où les aciers supérieurs sont nécessaires et jusqu'où ils doivent se prolonger au-delà de l'appui, détail le plus souvent contesté sur chantier.
Construction métallique
Recourir ou non aux assemblages résistant au moment est une décision de coût. L'encastrement réduit d'un tiers le moment de la poutre, mais l'assemblage nécessaire pour le développer peut coûter plus cher que l'acier économisé — les ingénieurs comparent donc explicitement les deux solutions dès le départ.
Enseignement et contrôle
La distribution des moments reste la façon la plus rapide de contrôler à la main une analyse d'ossature informatique. Partir des moments d'encastrement et mener deux ou trois cycles approche assez pour confirmer qu'un modèle se comporte sensément.
Conseils pratiques
💡L'encastrement réduit d'un tiers le moment maximal sous charge répartie — le meilleur argument des constructions continues.
💡Le terme réparti croît avec le carré de la portée, le terme ponctuel linéairement ; sur grande portée, la charge répartie domine.
💡PL/8 égale wL²/12 quand P = 2wL/3 — un moyen rapide de juger quel type de charge pilote le moment d'appui.
💡Une poutre encastrée-appuyée donne wL²/8, la moitié en plus qu'une poutre bi-encastrée. Vérifiez les appuis avant de choisir une formule.
💡La superposition est valable tant que la poutre reste élastique : combinez les cas de charge par simple addition.
💡Les poutres bi-encastrées sont sensibles aux tassements d'appui ; sur sol compressible, les moments induits peuvent dépasser les moments appliqués.
Avantages et limites
Avantages
✓Résultats exacts en forme fermée pour les cas de charge courants
✓Traite les chargements combinés par simple superposition
✓Fournit les valeurs de départ dont toute distribution des moments a besoin
✓Chiffre directement et immédiatement l'apport de la continuité
✓Assez simple pour se vérifier à la main lors d'une relecture de note de calcul
Limites
!Suppose des appuis parfaitement encastrés ; les assemblages réels sont d'ordinaire semi-rigides et développent moins
!Ne couvre que la charge répartie et la charge ponctuelle centrée — les charges excentrées ou partielles exigent les expressions générales
!Suppose une poutre prismatique, de section constante sur la portée
!Ne tient pas compte des tassements d'appui, qui induisent des moments supplémentaires substantiels
!Donne la première étape de la distribution des moments, non les moments redistribués finaux
!Ignore l'interaction avec l'effort normal, importante dans les poteaux-poutres
!Suppose un comportement linéaire élastique : aucune redistribution plastique n'est incluse
Moments d'encastrement selon la charge et les appuis
Les cas courants employés pour démarrer toute distribution des moments. Notez que la disposition des appuis change le coefficient autant que le type de charge — une poutre encastrée-appuyée reprend la moitié en plus qu'une poutre bi-encastrée sous la même charge répartie.
Moments d'encastrement courants des poutres prismatiques. Les moments sur appui tendent la fibre supérieure ; les moments de travée tendent la fibre inférieure.
Cas d'appuis et de charge
Moment en A
Moment en B
Moment en travée
Bi-encastrée, charge répartie w
wL²/12
wL²/12
wL²/24
Bi-encastrée, charge ponctuelle centrée P
PL/8
PL/8
PL/8
Bi-encastrée, charge ponctuelle à la distance a de A
Le moment qui se développe à l'appui d'une poutre dont l'extrémité ne peut pas tourner. Pour une poutre bi-encastrée sous charge répartie, il vaut wL²/12 à chaque appui ; sous charge ponctuelle centrée, PL/8. Il n'existe qu'en conséquence du blocage de la rotation.
Pourquoi le moment d'encastrement vaut-il wL²/12 ?
Cela découle de l'exigence d'une rotation nulle aux deux extrémités. En superposant la rotation d'une poutre sur appuis simples sous la charge et celle due à un moment appliqué en bout, puis en annulant la somme, on obtient wL²/12 comme moment nécessaire pour maintenir l'extrémité droite.
De combien l'encastrement réduit-il le moment ?
D'un tiers sous charge répartie. Une poutre sur appuis simples culmine à wL²/8 en travée ; une poutre bi-encastrée culmine à wL²/12 sur appui, avec seulement wL²/24 en travée. Cette réduction de 33 % s'obtient sans la moindre matière supplémentaire.
Quel est le moment d'encastrement sous charge ponctuelle ?
PL/8 à chaque extrémité pour une charge à mi-portée. Pour une charge à la distance a de A et b de B, les moments sont inégaux : Pab²/L² en A et Pa²b/L² en B, la valeur la plus grande se trouvant à l'extrémité la plus proche de la charge.
Qu'est-ce que la méthode de distribution des moments ?
Une méthode manuelle itérative pour les ossatures hyperstatiques, mise au point par Hardy Cross. Chaque nœud est d'abord bloqué et les moments d'encastrement calculés ; les nœuds sont ensuite relâchés à tour de rôle, le déséquilibre réparti selon les rigidités relatives, et la moitié de chaque correction reportée à l'extrémité opposée.
Un assemblage boulonné apporte-t-il un encastrement parfait ?
Rarement. La plupart des assemblages boulonnés sont semi-rigides : ils tournent sous charge et ne développent qu'une partie du moment d'encastrement. L'encastrement parfait exige un assemblage rigide détaillé pour transmettre le moment — en général un nœud entièrement soudé ou une platine d'about débordante.
Où le moment est-il maximal dans une poutre bi-encastrée ?
Aux appuis. Sous charge répartie, le moment d'appui vaut wL²/12 et le moment de travée seulement wL²/24 : les appuis reprennent donc deux fois plus. C'est pourquoi les poutres continues en béton exigent leur ferraillage le plus dense au-dessus des appuis.
Peut-on additionner des moments d'encastrement de charges différentes ?
Oui, à condition que la poutre reste linéaire et élastique, ce qui est la condition de service normale. La superposition permet de calculer chaque cas de charge indépendamment puis d'additionner les résultats, et elle garde chaque contribution visible, ce qui facilite la vérification de la note de calcul.
Qu'est-ce qu'une poutre encastrée-appuyée ?
Une poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l'autre. Son moment d'appui sous charge répartie vaut wL²/8, soit la moitié en plus qu'une poutre bi-encastrée, parce qu'aucun blocage à l'autre extrémité ne vient partager le moment développé à l'encastrement.
Quel effet un tassement d'appui a-t-il sur une poutre encastrée ?
Un effet important. Un tassement relatif Δ entre les deux extrémités induit un moment de 6EIΔ/L² en plus des moments de charge. Une poutre rigide sur sol compressible peut développer des moments de tassement supérieurs aux moments appliqués, ce qui plaide contre l'encastrement parfait dans certaines conditions.
Glossaire
Moment d'encastrement
Le moment développé à un appui qui empêche entièrement la rotation de l'extrémité de la poutre.
Poutre bi-encastrée
Poutre bloquée en rotation à ses deux appuis, dite aussi encastrée aux deux extrémités.
Poutre encastrée-appuyée
Poutre encastrée d'un côté et simplement appuyée de l'autre, cas hyperstatique de degré un.
Distribution des moments
Méthode itérative de Hardy Cross pour les ossatures hyperstatiques, partant des moments d'encastrement et relâchant les nœuds à tour de rôle.
Coefficient de report
La proportion d'un moment appliqué à une extrémité qui apparaît à l'extrémité opposée, égale à 0,5 pour une barre prismatique encastrée de ce côté.
Coefficient de répartition
La part du moment déséquilibré d'un nœud reprise par chaque barre, au prorata de sa rigidité relative.
Moment sur appui
Moment qui met la fibre supérieure d'une poutre en traction, comme au droit des appuis d'une construction continue.
Point d'inflexion
L'endroit où le moment fléchissant passe par zéro et où la face tendue passe du haut vers le bas.
Assemblage semi-rigide
Nœud à rigidité de rotation partielle, développant une partie seulement du moment d'encastrement.
Références scientifiques et normatives
Cross, H., Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments, Transactions ASCE vol. 96 (1932) — American Society of Civil Engineers
Hibbeler, R. C., Structural Analysis, 10ᵉ édition — chapitre 12 : méthode des déplacements, distribution des moments — Pearson
AISC Steel Construction Manual, 16ᵉ édition — Beam Diagrams and Formulas (partie 3) — American Institute of Steel Construction
Roark's Formulas for Stress and Strain, 9ᵉ édition — tableau 8.1 : réactions et flèches des poutres droites — McGraw-Hill
NF EN 1992-1-1 § 5.5 — Analyse élastique linéaire avec redistribution limitée — AFNOR
Conclusion
Les moments d'encastrement valent wL²/12 sous charge répartie et PL/8 sous charge ponctuelle centrée, et se développent à chaque appui d'une poutre dont les extrémités ne peuvent pas tourner. Ils comptent pour deux raisons. Comme valeurs de calcul, ils chiffrent l'apport de la continuité : l'encastrement réduit d'un tiers le moment maximal sous charge répartie, sans ajouter de matière. Comme données d'analyse, ils sont la première étape de la distribution des moments et de toute analyse en rigidité. L'hypothèse à vérifier le plus sévèrement est celle sur laquelle ils reposent — les assemblages réels sont d'ordinaire semi-rigides et développent moins que le moment complet, et une poutre calculée encastrée mais construite semi-rigide reprendra en travée davantage que le calcul ne le montre.
Saisissez votre poutre ci-dessus, puis balayez la portée dans le graphique pour voir les contributions répartie et ponctuelle diverger.
