Un câble portant une charge répartie prend une forme parabolique dont la tension horizontale vaut H = wL²/(8f). La tension maximale, aux appuis, vaut √(H² + V²) avec V = wL/2. Saisissez la charge, la portée et la flèche pour obtenir les deux. La flèche est la variable critique : la diviser par deux double la tension, ce qui explique que les câbles d'apparence tendue soient les plus sollicités.
Calculateur
Unités :
kN/m
Charge par mètre de portée horizontale, poids propre du câble compris
m
Distance horizontale entre appuis
m
Descente verticale à mi-portée ; visez L/8 à L/12
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir la tension horizontale, constante le long du câble, et la tension maximale aux appuis. Dimensionnez le câble et ses ancrages sur la valeur maximale ; la composante horizontale est ce que les pylônes et les fondations doivent reprendre.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Donne à la fois la tension horizontale constante et la tension de pointe aux appuis
✓Rend la relation inverse avec la flèche explicite et chiffrable
✓Contient les repères de rapport flèche/portée employés en structures suspendues
✓Indique où l'approximation parabolique cesse d'être valable
✓Le graphique de sensibilité montre la montée brutale de la tension quand la flèche diminue
✓Liens partageables et export CSV pour les pièces de conception
Qu'est-ce que la tension d'un câble ?
Un câble n'a aucune rigidité de flexion : il ne peut porter une charge qu'en changeant de forme jusqu'à ce que chaque élément soit en traction pure. Sous une charge répartie uniformément à l'horizontale — le tablier d'un pont suspendu, accroché au câble par des suspentes rapprochées — le profil obtenu est une parabole. L'équilibre vertical d'une moitié de câble donne la composante horizontale de la tension par H = wL²/(8f), où f est la flèche à mi-portée. Cette composante horizontale est constante sur tout le câble ; seule la composante verticale varie.
Pourquoi la flèche est la variable dominante
La flèche figure au dénominateur : la tension lui est donc inversement proportionnelle. Un câble présentant 5 m de flèche sur 100 m de portée transmet le double de la tension d'un câble à 10 m sous la même charge. Les concepteurs affrontent donc un arbitrage direct : plus de flèche signifie moins de tension, des câbles plus petits et des ancrages moins chers, mais des pylônes plus hauts et un gabarit plus entamé. Les ponts suspendus se fixent typiquement sur un rapport flèche/portée compris entre 1/8 et 1/12, qui équilibre les deux.
Parabole ou chaînette ?
La parabole s'applique quand la charge est répartie uniformément en projection horizontale, comme sous un tablier suspendu. Un câble ne portant que son propre poids — une ligne électrique, ou un hauban déchargé — reçoit au contraire une charge répartie sur sa propre longueur, et prend une forme de chaînette. Les deux sont proches pour les flèches faibles : en deçà d'un rapport flèche/portée d'environ 1/10, l'écart reste sous 1 % et le résultat parabolique s'emploie couramment. Au-delà de 1/5 environ, la divergence devient significative et la solution en chaînette s'impose.
Formule
H = wL² / (8f)
Tension horizontale d'un câble parabolique sous charge répartie, constante sur sa longueur
Formules associées
V = wL / 2
T_max = √(H² + V²)
s ≈ L(1 + 8f²/3L²)
y = 4f·x(L − x)/L²
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
H
Tension horizontale
kN
La composante horizontale de la tension, constante le long du câble et égale à la tension à mi-portée.
T_max
Tension maximale
kN
Tension de pointe aux appuis, là où la pente du câble est la plus forte. C'est la valeur de dimensionnement.
w
Charge répartie
kN/m
Charge par mètre de portée horizontale, poids propre du câble compris.
L
Portée
m
Distance horizontale entre appuis. La tension croît avec son carré.
f
Flèche
m
Descente verticale de la ligne des appuis au point bas. La tension lui est inversement proportionnelle.
V
Réaction verticale
kN
Force verticale à chaque appui, la moitié de la charge totale pour un câble symétrique.
Comment utiliser ce calculateur
Confirmez que la charge est répartie à l'horizontaleLe résultat parabolique suppose une charge répartie uniformément en travers de la portée, comme sous un tablier accroché par des suspentes rapprochées. Un câble ne portant que son propre poids est chargé sur sa longueur et suit une chaînette.
Intégrez le poids propre du câble à la chargeSur les grandes portées, le câble peut représenter une part notable du total. Estimez-le à partir d'une section initiale, incluez-le dans w, puis reprenez le calcul une fois la section choisie.
Saisissez la flèche à mi-portéeMesurez depuis la ligne joignant les appuis jusqu'au point bas. Pour des appuis à des niveaux différents, la géométrie change et cette expression simple ne s'applique plus directement.
Dimensionnez le câble sur la tension maximaleLa tension de pointe apparaît aux appuis, là où le câble est le plus incliné. Dimensionnez le câble et ses terminaisons sur cette valeur, avec le coefficient de sécurité approprié — typiquement 2,0 à 3,0 vis-à-vis de la charge de rupture pour un câble de structure.
Dimensionnez pylônes et ancrages sur la composante horizontaleLa tension horizontale est ce qui tire les pylônes vers l'intérieur et doit être reprise par les ancrages. Elle ne diminue pas le long du câble : elle est la même en tout point, y compris à mi-portée.
Exemples résolus
Exemple 1
Un câble franchit 100 m en portant une charge uniformément répartie de 10 kN/m, avec une flèche de 10 m à mi-portée. Cherchons les tensions horizontale et maximale.
Solution étape par étape
Rapport flèche/portée : f/L = 10/100 = 1/10, confortablement dans la plage où l'approximation parabolique est exacte
La tension maximale ne dépasse la composante horizontale que de 7,7 %, ce qui est typique d'un câble peu creusé — il reste presque horizontal sur l'essentiel de sa longueur.
Exemple 2
Le même câble et la même charge, mais la flèche est réduite de 10 m à 5 m pour abaisser la hauteur des pylônes. C'est l'arbitrage qui piège les concepteurs.
Solution étape par étape
Rapport flèche/portée : f/L = 5/100 = 1/20 — un câble plat
Comparaison : diviser la flèche par deux a exactement doublé la tension horizontale, de 1 250 à 2 500 kN, et relevé la tension maximale de 89 %
Les conséquences se cumulent : la section du câble double à peu près, et l'ancrage doit reprendre deux fois la traction horizontale — un coût en général bien supérieur à la hauteur de pylône économisée.
Notez aussi que le rapport Tmax/H est tombé de 1,077 à 1,020. Un câble plus plat est plus proche de l'horizontale partout : tension maximale et tension horizontale convergent.
Sensibilité à la flèche
La tension est inversement proportionnelle à la flèche : la courbe monte donc brutalement quand la flèche diminue et s'aplatit quand elle croît. Le coude marque l'endroit où la flèche supplémentaire cesse de payer — en général vers un rapport flèche/portée de 1/10. Le marqueur indique votre flèche actuelle.
Tension maximale (Tmax)en fonction deFlèche (f)
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de Tension maximale (Tmax) en fonction de Flèche (f). Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de flèche (f).
Comment interpréter le résultat
La tension n'a pas de limite universelle : cela dépend du câble prescrit. Ce qui mérite lecture, c'est le rapport flèche/portée qu'impliquent vos données, car il détermine à la fois l'efficacité de la géométrie et la validité de l'approximation parabolique.
Une tension maximale de < 200 kN est modeste, dans la gamme des haubans, des supports de caténaire et des passerelles suspendues légères. Appliquez un coefficient de sécurité de 2,0 à 3,0 sur la charge de rupture du câble, et vérifiez l'ancrage avec autant de soin que le câble.
Tension maximale (Tmax) : 200 – 2 000Plage des câbles de structure
Une tension maximale de 200 – 2 000 kN correspond à un ouvrage à câbles — passerelle, toiture haubanée ou réseaux suspendus. Dimensionnez le câble et ses terminaisons sur cette valeur de pointe, et les pylônes et ancrages sur la composante horizontale.
Une tension maximale de ≥ 2 000 kN est substantielle. Avant de dimensionner le câble, cherchez si de la flèche supplémentaire est disponible : la tension lui étant inversement proportionnelle, un changement géométrique modeste réduit immédiatement et proportionnellement le coût du câble et de l'ancrage.
Erreurs courantes à éviter
Dimensionner le câble sur la tension horizontale
Pourquoi c'est important :La composante horizontale est la tension à mi-portée, non la pointe. La tension maximale apparaît aux appuis et la dépasse — de 7,7 % pour un rapport de flèche de 1/10, et bien plus pour un câble très creusé.
✓Comment l'éviter :Dimensionnez le câble et ses terminaisons sur Tmax = √(H² + V²). Employez la composante horizontale pour les pylônes et les ancrages, où c'est elle qui compte.
Appliquer la formule parabolique à un câble chargé de son seul poids
Pourquoi c'est important :Un câble ne portant que son propre poids est chargé uniformément sur sa longueur, non à l'horizontale, et suit une chaînette. Pour les flèches importantes, le résultat parabolique s'en écarte sensiblement.
✓Comment l'éviter :Employez la forme parabolique pour les tabliers suspendus et les charges réparties. Pour les lignes électriques, les haubans déchargés et les flèches importantes, employez la chaînette — l'écart reste sous 1 % seulement en deçà de 1/10 environ.
Réduire la flèche pour économiser de la hauteur de pylône
Pourquoi c'est important :La tension est inversement proportionnelle à la flèche : la diviser par deux double l'effort dans le câble. La section du câble et chaque ancrage croissent d'autant, ce qui coûte en général bien plus que la hauteur de pylône économisée.
✓Comment l'éviter :Chiffrez le système entier plutôt qu'un seul élément. Les rapports flèche/portée de 1/8 à 1/12 existent parce que c'est là que se situe l'optimum global de la plupart des structures suspendues.
Ignorer l'allongement du câble et son effet sur la flèche
Pourquoi c'est important :Un câble sous tension s'allonge élastiquement, et la flèche à laquelle il se stabilise n'est pas celle avec laquelle il a été monté. Sur une grande portée, l'écart suffit à modifier sensiblement la géométrie et la tension.
✓Comment l'éviter :Itérez entre tension, allongement et flèche jusqu'à cohérence, ou prescrivez la longueur de câble à vide nécessaire pour atteindre la flèche visée sous charge.
Oublier les effets de la température
Pourquoi c'est important :Un câble en acier se dilate d'environ 12 microdéformations par degré. Sur une grande portée, une variation de 30 °C change assez la longueur pour modifier notablement la flèche — et comme la tension lui est inversement proportionnelle, elle modifie aussi la tension.
✓Comment l'éviter :Vérifiez la tension aux températures de calcul maximale et minimale. Le cas froid donne la tension la plus élevée et gouverne en général le câble et son ancrage.
Traiter une charge ponctuelle comme si elle était répartie
Pourquoi c'est important :Une charge concentrée fait adopter au câble une forme en segments droits avec un point anguleux sous la charge, et non une parabole lisse. La répartition des tensions est entièrement différente.
✓Comment l'éviter :Pour des charges discrètes, analysez le câble comme une suite de segments droits, avec équilibre en chaque point de charge. La parabole ne s'applique qu'à un chargement véritablement réparti.
Applications pratiques
▸Prédimensionner des passerelles suspendues et haubanées
▸Dimensionner câbles et ancrages de toitures et auvents suspendus
▸Vérifier la tension des haubans de mâts et de pylônes
▸Estimer flèche et tension d'une caténaire aérienne
▸Évaluer un dispositif de suspension provisoire de chantier
▸Déterminer les efforts d'ancrage de structures textiles tendues
Cas d'usage par secteur
Ouvrages d'art
Les câbles porteurs d'un pont suspendu s'optimisent sur le rapport flèche/portée, puisqu'il pilote à la fois la section du câble, la hauteur des pylônes et la taille des ancrages. Les rapports de 1/8 à 1/12 dominent parce que c'est là que la courbe de coût total atteint son minimum pour les trois.
Transport d'électricité
La tension d'un conducteur varie avec la température et le givre, et la flèche doit être vérifiée aux extrêmes pour conserver la garde au sol réglementaire. Comme ces câbles ne portent que leur propre poids, c'est la chaînette et non la parabole qui s'applique.
Structures légères et architecturales
Les toitures à câbles et les couvertures textiles sont gouvernées autant par l'ancrage que par le câble. Comme la composante horizontale doit être reprise en rive, les ingénieurs acceptent souvent davantage de flèche précisément pour réduire les efforts en fondation.
Conseils pratiques
💡La tension est inversement proportionnelle à la flèche : la diviser par deux double l'effort dans le câble et à l'ancrage.
💡Visez un rapport flèche/portée de 1/8 à 1/12 pour une structure suspendue ; c'est là que le coût total atteint en général son minimum.
💡Dimensionnez le câble sur Tmax et les pylônes et ancrages sur H — deux efforts différents à deux destinations différentes.
💡En deçà d'un rapport de flèche de 1/10, parabole et chaînette diffèrent de moins de 1 % : la forme simple suffit.
💡Vérifiez le cas de température basse : un câble contracté a moins de flèche et donc plus de tension.
💡L'ancrage est fréquemment la partie la plus coûteuse d'un système à câbles. Réduire la tension horizontale vaut plus qu'économiser du câble.
Avantages et limites
Avantages
✓Expression explicite et exacte pour un câble parabolique sous charge répartie
✓N'exige que trois données, toutes issues de la géométrie visée
✓Sépare la composante horizontale de la pointe, comme elles s'emploient réellement
✓Rend l'arbitrage sur la flèche directement visible et chiffrable
✓Assez rapide pour balayer des rapports de flèche en phase concept
Limites
!Suppose une charge répartie sur la portée horizontale, non sur la longueur du câble
!Suppose des appuis de même niveau ; des appuis dénivelés exigent la solution dissymétrique
!S'écarte de la vraie chaînette au-delà d'un rapport flèche/portée d'environ 1/5
!Ne tient pas compte de l'allongement élastique, qui modifie la flèche réellement obtenue
!Ignore les effets de température sur la longueur et donc sur la tension
!Invalide pour les charges concentrées, qui produisent un profil anguleux et non lisse
!N'aborde pas les effets dynamiques : vibration, galop ou flottement du câble
Tension selon le rapport flèche/portée
Le même câble de 100 m portant 10 kN/m à différentes flèches. La réaction verticale ne change jamais, puisqu'elle ne dépend que de la charge totale — tout ce qui varie vient de la géométrie.
Câble parabolique, portée 100 m, charge répartie 10 kN/m. La réaction verticale vaut 500 kN dans tous les cas. En deçà de 1/5, il faut employer la solution en chaînette.
Pour un câble sous charge répartie, la tension horizontale vaut H = wL²/(8f), où w est la charge par mètre, L la portée et f la flèche à mi-portée. La tension maximale aux appuis vaut √(H² + V²) avec V = wL/2, et c'est elle qui sert à dimensionner le câble.
Quel effet la flèche a-t-elle sur la tension ?
Un effet inverse et direct : diviser la flèche par deux double la tension. Un câble à 5 m de flèche sur 100 m transmet le double de l'effort d'un câble à 10 m sous la même charge. C'est pourquoi les câbles d'apparence tendue sont les plus sollicités.
Où la tension d'un câble est-elle maximale ?
Aux appuis, là où la pente du câble est la plus forte et la composante verticale la plus grande. À mi-portée le câble est horizontal et la tension égale la seule composante horizontale, qui est le minimum sur toute la longueur du câble.
Quelle différence entre une chaînette et une parabole ?
La chaînette est la forme que prend un câble sous son propre poids, réparti sur sa longueur. La parabole est la forme sous une charge répartie à l'horizontale, comme sous un tablier suspendu. En deçà d'un rapport flèche/portée d'environ 1/10, elles diffèrent de moins de 1 %.
Quel rapport flèche/portée retenir ?
Entre 1/8 et 1/12 pour la plupart des structures suspendues. Moins de flèche signifie plus de tension, des câbles plus gros et des ancrages plus importants ; plus de flèche signifie des pylônes plus hauts et du gabarit perdu. Cette plage est celle où le coût combiné atteint son minimum.
Pourquoi la tension horizontale est-elle constante le long du câble ?
Parce qu'aucune force horizontale n'est appliquée sur sa longueur — la charge est entièrement verticale. L'équilibre horizontal d'un tronçon quelconque impose donc une composante horizontale identique en tout point, tandis que la composante verticale croît régulièrement depuis zéro à mi-portée jusqu'à son maximum aux appuis.
Faut-il dimensionner le câble sur H ou sur Tmax ?
Sur Tmax, puisque c'est l'effort de pointe que le câble reprend réellement. Employez la composante H pour les pylônes et les ancrages, qui doivent reprendre la traction vers l'intérieur. Confondre les deux sous-dimensionne le câble de jusqu'à 30 % pour les grandes flèches.
La température change-t-elle la tension d'un câble ?
Oui. Un câble en acier se contracte d'environ 12 microdéformations par degré de refroidissement, ce qui réduit la flèche et augmente donc la tension. Sur une grande portée, une variation de 30 °C produit un changement notable, et le cas froid gouverne en général le câble et l'ancrage.
Quel coefficient de sécurité pour un câble de structure ?
Typiquement 2,0 à 3,0 vis-à-vis de la charge de rupture minimale, selon le règlement, la conséquence d'une ruine et le caractère remplaçable ou non du câble. Les câbles porteurs de ponts et les éléments non remplaçables se situent en haut de la fourchette.
Peut-on employer ce calcul pour un hauban ?
Pour une estimation préliminaire, oui, à condition que le hauban porte une charge répartie. Mais un hauban déchargé ne porte que son propre poids et suit une chaînette, et les haubans sont d'ordinaire précontraints à un effort prescrit plutôt que laissés libres de trouver leur flèche.
Glossaire
Flèche
La descente verticale de la ligne joignant les appuis jusqu'au point le plus bas du câble.
Tension horizontale (H)
La composante horizontale de la tension, constante le long du câble et égale à la tension à mi-portée.
Tension maximale (Tmax)
La tension de pointe aux appuis, là où la pente et la composante verticale sont les plus grandes.
Rapport flèche/portée
La flèche divisée par la portée, principal paramètre géométrique d'une structure à câbles ; typiquement 1/8 à 1/12.
Chaînette
La courbe en cosinus hyperbolique qu'adopte un câble sous son propre poids, réparti sur sa longueur.
Parabole
La courbe qu'adopte un câble sous une charge répartie uniformément sur la portée horizontale.
Ancrage
La fondation ou l'élément de structure qui reprend la traction horizontale d'un câble à son extrémité.
Suspente
Élément vertical transmettant la charge d'un tablier au câble porteur.
Longueur développée
La longueur réelle du câble le long de sa courbe, supérieure à la portée d'un écart qui croît avec la flèche.
Références scientifiques et normatives
Irvine, H. M., Cable Structures — MIT Press
Gimsing, N. J. & Georgakis, C. T., Cable Supported Bridges: Concept and Design, 3ᵉ édition — Wiley
Hibbeler, R. C., Structural Analysis, 10ᵉ édition — chapitre 5 : câbles et arcs — Pearson
NF EN 1993-1-11 — Calcul des structures à câbles ou éléments tendus — AFNOR
ASCE 19 — Structural Applications of Steel Cables for Buildings — American Society of Civil Engineers
Conclusion
Un câble sous charge répartie prend une forme parabolique dont la tension horizontale vaut wL²/(8f), constante sur sa longueur, la pointe se situant aux appuis. La flèche est la variable qui compte : parce qu'elle figure au dénominateur, la diviser par deux double l'effort dans le câble et à l'ancrage ensemble, ce qui rend les câbles plats coûteux plutôt qu'efficaces. Dimensionnez le câble sur la tension maximale et les pylônes et ancrages sur la composante horizontale — ce sont deux nombres différents à deux destinations différentes. Et vérifiez le rapport flèche/portée avant de vous fier au résultat : au-delà de 1/5 environ, le câble se comporte en chaînette et cette approximation ne tient plus.
Essayez votre géométrie ci-dessus, puis balayez la flèche dans le graphique pour voir la tension grimper à mesure que le câble se tend.
