Calculateur de torsion et cisaillement

🏗️ Structures Calculateur en ligne gratuit Métriques et impériales Dernière révision 31 juillet 2026

Un arbre circulaire soumis à un couple développe une contrainte de cisaillement τ = Tr/J, maximale en surface extérieure, et se tord d'un angle θ = TL/(JG). Saisissez le couple, le diamètre, la longueur et le module de cisaillement pour obtenir les deux. Comme le moment d'inertie polaire varie avec la puissance quatre du diamètre, une faible augmentation de section a un effet considérable sur la contrainte comme sur la torsion.

Calculateur

Unités : Métriques (SI) Impériales

Couple appliqué (T)

N·m

Moment de torsion autour de l'axe de l'arbre

Diamètre (D)

Diamètre extérieur — la contrainte décroît en cube, la torsion en puissance quatre

Longueur (L)

Longueur sur laquelle la torsion s'accumule

Module de cisaillement (G)

GPa

Acier ≈ 79, aluminium ≈ 26, titane ≈ 44 GPa

Résultat du calcul

Appuyez sur Calculer pour obtenir la contrainte de cisaillement maximale en surface extérieure et l'angle de torsion total sur la longueur de l'arbre. Comparez la contrainte au cisaillement admissible de votre matériau, et l'angle à l'exigence de rigidité de l'application.

Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.

Points clés

Donne d'un seul coup la vérification de résistance et celle de rigidité
Rend immédiatement visible l'effet en puissance quatre du diamètre
Donne la torsion en degrés, la forme dans laquelle les spécifications sont écrites
Contient la comparaison avec l'arbre creux, qui montre où la matière mérite sa place
Le graphique de sensibilité montre la chute rapide de la contrainte et de la torsion avec le diamètre
Liens partageables et export CSV pour les pièces de conception

Qu'est-ce que la torsion ?

Quand un arbre circulaire est tordu, chaque section tourne par rapport à sa voisine tout en restant plane et circulaire. La déformation de cisaillement croît linéairement de zéro sur l'axe à un maximum en surface extérieure, et pour un matériau linéaire élastique la contrainte suit la même répartition : τ = Tr/J, où r est le rayon au point considéré et J le moment d'inertie polaire. Pour un arbre circulaire plein, J = πD⁴/32.

Pourquoi le diamètre domine à ce point

Le moment d'inertie polaire varie avec la puissance quatre du diamètre, alors que le rayon au numérateur varie à la puissance un — la contrainte maximale décroît donc comme le cube du diamètre et la torsion comme sa puissance quatre. Porter un arbre de 50 mm à 60 mm réduit la contrainte de pointe de 20,37 à 11,79 MPa, soit 42 % de moins, et la torsion de 1,18 à 0,57 degré, soit 52 % de moins. Le tout pour 44 % de matière en plus en masse.

Pourquoi seules les sections circulaires se comportent aussi simplement

L'hypothèse selon laquelle les sections restent planes n'est exacte que pour un arbre circulaire, et pour aucune autre forme. Une barre rectangulaire soumise à un couple gauchit hors de son plan, sa contrainte de cisaillement culmine au milieu du grand côté plutôt qu'aux angles, et sa constante de torsion s'obtient par des coefficients empiriques et non par une formule fermée. Les sections ouvertes comme les profilés en I et les U sont radicalement plus faibles en torsion que les sections fermées de même aire, ce qui explique que les barres sollicitées en torsion se fassent en tubes.

Formule

τ_max = T·r / J

Contrainte de cisaillement maximale en surface extérieure d'un arbre circulaire

Formules associées

J = πD⁴ / 32

θ = T·L / (J·G)

J = π(D⁴ − d⁴) / 32

P = T·ω

Définition des variables

Symbole	Variable	Unité	Description
τ_max	Contrainte de cisaillement maximale	MPa	Contrainte de cisaillement de pointe, atteinte en surface extérieure où le rayon est le plus grand.
T	Couple appliqué	N·m	Moment de torsion appliqué autour de l'axe de l'arbre.
r	Rayon extérieur	mm	Distance de l'axe à la surface extérieure, soit la moitié du diamètre.
J	Moment d'inertie polaire	mm⁴	Équivalent en torsion du moment quadratique de section ; πD⁴/32 pour un cercle plein.
θ	Angle de torsion	degrés	Rotation relative totale entre les deux extrémités de l'arbre.
L	Longueur de l'arbre	m	Longueur sur laquelle la torsion s'accumule. L'angle lui est directement proportionnel.
G	Module de cisaillement	GPa	Rigidité du matériau au cisaillement. L'acier vaut environ 79 GPa, l'aluminium 26 GPa.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez le couple en newtons-mètresPour un arbre en rotation, le couple découle de la puissance et de la vitesse par T = P/ω, ω en radians par seconde. Un moteur de 10 kW à 1 450 tr/min délivre environ 65,9 N·m.
Employez le diamètre extérieurLa contrainte de pointe se produit en surface extérieure : le diamètre extérieur fixe donc à la fois J et le rayon au numérateur. Ce calculateur traite les arbres pleins ; pour un arbre creux, employez J = π(D⁴ − d⁴)/32 à la main.
Saisissez la longueur sur laquelle la torsion s'accumuleEmployez la distance entre le point d'application du couple et celui où il est repris. L'angle de torsion est directement proportionnel à cette longueur : un arbre long se tord proportionnellement plus à contrainte égale.
Saisissez le module de cisaillement, non le module d'YoungLa torsion dépend de la rigidité au cisaillement G, environ 0,385 fois E pour la plupart des métaux. L'acier vaut environ 79 GPa contre 200 GPa en traction. Substituer E sous-estimerait la torsion d'un facteur d'environ 2,5.
Confrontez chaque résultat à sa propre limiteComparez la contrainte au cisaillement admissible — couramment 0,4 à 0,6 fois la limite d'élasticité en traction en calcul statique. Comparez l'angle à l'exigence de l'application, souvent exprimée en degrés par mètre pour un arbre de transmission.

Exemples résolus

Exemple 1

Un arbre en acier plein de 50 mm de diamètre et de 2,0 m de long transmet un couple de 500 N·m. Le module de cisaillement vaut 79 GPa. Cherchons la contrainte de cisaillement maximale et l'angle de torsion.

Solution étape par étape

Moment d'inertie polaire : J = πD⁴/32 = π × 50⁴ / 32 = π × 6 250 000 / 32
J = 613 592 mm⁴
Rayon extérieur : r = D/2 = 25 mm
Conversion du couple en unités cohérentes : T = 500 N·m = 500 000 N·mm
Contrainte de cisaillement maximale : τ = Tr/J = 500 000 × 25 / 613 592 = 20,37 MPa
Conversions pour la torsion : L = 2,0 m = 2 000 mm ; G = 79 GPa = 79 000 MPa
Angle de torsion : θ = TL/(JG) = 500 000 × 2 000 / (613 592 × 79 000) = 0,02063 rad
En degrés : 0,02063 × 180/π = 1,18°, soit 0,59 degré par mètre
Bilan : 20,37 MPa reste très en deçà du cisaillement admissible d'un acier de construction ; cet arbre est donc gouverné par la rigidité plutôt que par la résistance si l'application impose une limite de torsion.

Exemple 2

Le même couple, la même longueur et le même matériau, mais un diamètre porté de 50 mm à 60 mm — 20 % de plus. Voici la loi en puissance quatre à l'œuvre.

Solution étape par étape

Moment d'inertie polaire : J = π × 60⁴ / 32 = π × 12 960 000 / 32 = 1 272 345 mm⁴
Soit 2,07 fois la valeur de l'arbre de 50 mm, pour 20 % de diamètre en plus
Rayon extérieur : r = 30 mm
Contrainte de cisaillement maximale : τ = 500 000 × 30 / 1 272 345 = 11,79 MPa
Angle de torsion : θ = 500 000 × 2 000 / (1 272 345 × 79 000) = 0,00995 rad = 0,57°
Comparaison : la contrainte a chuté de 42 % et la torsion de 52 %, pour seulement 44 % de masse en plus
Les lois d'échelle l'expliquent : la contrainte varie en 1/D³, soit (50/60)³ = 0,579 ; la torsion en 1/D⁴, soit (50/60)⁴ = 0,482. Les deux correspondent aux réductions calculées.
Conclusion de conception : lorsqu'un arbre échoue en torsion, augmenter le diamètre est spectaculairement plus efficace que changer de matériau — aucun alliage courant n'offre 42 % de module de cisaillement en plus.

Sensibilité au diamètre

La contrainte de cisaillement décroît comme le cube du diamètre et la torsion comme sa puissance quatre : les deux courbes chutent fortement puis s'aplatissent en une longue traîne. Basculez de l'une à l'autre pour comparer les deux vitesses. Le marqueur indique votre diamètre actuel.

Contrainte de cisaillement maximaleen fonction deDiamètre (D)

Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.

Comment interpréter le résultat

Le calcul en torsion comporte deux vérifications indépendantes, gouvernées par des choses différentes. La contrainte doit rester sous le cisaillement admissible du matériau ; l'angle doit rester dans ce que l'application tolère, ce qui pour une machine de précision peut être bien plus serré que toute limite de résistance.

Contrainte de cisaillement maximale : < 40 Contrainte de cisaillement faible

Une contrainte de cisaillement maximale de < 40 MPa reste confortablement sous le cisaillement admissible des aciers de construction et de mécanique, typiquement de 80 à 150 MPa. La résistance n'est pas la contrainte ici — vérifiez l'angle de torsion, plus susceptible de gouverner.

Contrainte de cisaillement maximale : 40 – 100 Contrainte de cisaillement modérée

Une contrainte de cisaillement maximale de 40 – 100 MPa se situe dans la plage de travail normale des arbres en acier. Confrontez-la au cisaillement admissible de votre nuance précise et, lorsque l'arbre tourne sous charge alternée, vérifiez la limite d'endurance plutôt que la limite statique.

Contrainte de cisaillement maximale : 100 – 200 Contrainte de cisaillement élevée

Une contrainte de cisaillement maximale de 100 – 200 MPa approche la limite admissible de beaucoup d'aciers. Vérifiez face à la limite d'élasticité en cisaillement de votre matériau, et surveillez de près les concentrations de contrainte aux rainures de clavette, cannelures et congés d'épaulement, qui peuvent doubler la contrainte locale.

Contrainte de cisaillement maximale : ≥ 200 Contrainte de cisaillement très élevée

Une contrainte de cisaillement maximale de ≥ 200 MPa dépasse le cisaillement admissible de la plupart des aciers de construction mécanique. Augmentez le diamètre — la contrainte décroît comme son cube, donc même une augmentation modeste aide beaucoup — ou réduisez le couple.

Angle de torsion : ≥ 3 Angle de torsion important

Une torsion de ≥ 3 degrés est substantielle. Les arbres de transmission se limitent couramment à environ 0,25 degré par mètre, et les entraînements de précision à bien moins. La torsion décroît comme la puissance quatre du diamètre : une faible augmentation de section est donc le remède efficace.

Erreurs courantes à éviter

Employer le module d'Young au lieu du module de cisaillement

Pourquoi c'est important :La torsion dépend de la rigidité au cisaillement G, non de la rigidité en traction E. Pour l'acier, G vaut environ 79 GPa contre 200 GPa : substituer E sous-estime donc l'angle de torsion d'un facteur voisin de 2,5.

Comment l'éviter :Employez G, approximativement E/2(1+ν), soit environ 0,385E pour la plupart des métaux. Acier 79 GPa, aluminium 26 GPa, titane 44 GPa.

Appliquer la théorie de l'arbre circulaire à une section non circulaire

Pourquoi c'est important :L'hypothèse des sections planes ne vaut que pour les cercles. Une barre rectangulaire gauchit sous couple, sa contrainte culmine au milieu du grand côté plutôt qu'aux angles, et sa constante de torsion est bien plus faible que ne le laisserait croire le moment d'inertie polaire.

Comment l'éviter :Employez la constante de torsion J propre à la forme, tirée d'une table de référence. Pour les sections ouvertes comme les profilés en I et les U, la rigidité de torsion n'est qu'une petite fraction de celle d'une section fermée de même aire.

Ignorer les concentrations de contrainte aux clavetages et aux congés

Pourquoi c'est important :Une rainure de clavette, une cannelure ou un congé d'épaulement élève la contrainte locale bien au-dessus de la valeur nominale — un facteur 2 à 3 est courant sur une rainure vive. Les ruptures d'arbre s'amorcent presque toujours à ces détails.

Comment l'éviter :Appliquez le coefficient de concentration de contrainte approprié, tiré d'une référence comme le Peterson, et prescrivez des rayons de congé généreux. Un rayon plus grand est l'amélioration de résistance la moins chère qui existe.

Dimensionner un arbre tournant sur la seule résistance statique

Pourquoi c'est important :Un arbre en rotation sous charge de flexion subit une contrainte entièrement alternée à chaque tour : c'est donc la fatigue et non la limite élastique statique qui gouverne. La limite d'endurance peut valoir moins de la moitié de l'admissible statique, et moins encore avec une entaille de surface.

Comment l'éviter :Employez une méthode de calcul en fatigue — approche de Soderberg ou de Goodman avec les coefficients d'état de surface, de taille et de concentration — pour tout arbre tournant sous charge.

Vérifier la contrainte mais pas la torsion

Pourquoi c'est important :Un arbre peut être parfaitement sûr en résistance et rester inutilisable. Une torsion excessive provoque des erreurs de calage dans une chaîne cinématique, des erreurs de position dans une machine, et des vibrations de torsion sur les arbres longs.

Comment l'éviter :Vérifiez les deux. Les arbres de transmission se limitent couramment à 0,25 degré par mètre environ, et les entraînements de positionnement de précision à bien moins.

Négliger la combinaison flexion-torsion

Pourquoi c'est important :La plupart des arbres réels reprennent une flexion due aux engrenages, poulies ou tensions de courroie en même temps que le couple. Vérifier l'une ou l'autre isolément sous-estime nettement l'état de contrainte combiné.

Comment l'éviter :Employez une approche en contrainte équivalente — critère de Tresca ou de von Mises — en combinant les composantes de flexion et de torsion avant de comparer à l'admissible.

Applications pratiques

Dimensionner les arbres de transmission de moteurs, réducteurs et pompes
Vérifier la rigidité en torsion des broches de machines-outils
Contrôler la capacité d'un tube de torsion en automobile et en aéronautique
Évaluer des barres de structure soumises à un chargement excentré
Concevoir des barres de torsion et des barres antiroulis
Vérifier la torsion des longs arbres de transmission et des lignes d'arbres

Cas d'usage par secteur

Transmission mécanique de puissance: Les arbres de transmission se dimensionnent d'après le couple moteur puis se vérifient face à une limite de torsion, couramment 0,25 degré par mètre. Comme la torsion décroît en puissance quatre du diamètre, c'est l'exigence de rigidité qui fixe en général la section bien avant la limite de contrainte.
Automobile: Les barres de torsion et barres antiroulis sont conçues pour se tordre d'une quantité maîtrisée plutôt que pour y résister : les mêmes formules s'emploient donc à l'envers — la raideur visée fixe le diamètre, et la contrainte obtenue se vérifie ensuite face à la limite de fatigue.
Construction métallique: Une poutre chargée excentriquement développe de la torsion, et les sections ouvertes y résistent très mal. Les ingénieurs évitent en général de dimensionner en torsion, en maintenant la barre ou en employant une section creuse fermée — un tube peut être cent fois plus rigide en torsion qu'un profilé en I de même aire.

Conseils pratiques

Le diamètre est de très loin la variable la plus efficace : la contrainte décroît en cube, la torsion en puissance quatre.
Un arbre creux perd peu de capacité en torsion pour une grande économie de poids, la matière proche de l'axe ne portant presque aucune contrainte.
Employez G et non E — environ 0,385E pour les métaux courants, et environ 79 GPa pour l'acier.
Vérifiez la torsion par mètre plutôt que la torsion totale ; c'est ainsi que les spécifications sont normalement écrites.
Des rayons de congé généreux aux épaulements sont l'amélioration de tenue en fatigue la moins chère disponible.
Pour toute barre appelée à reprendre de la torsion, employez une section creuse fermée — les sections ouvertes sont radicalement plus faibles.

Avantages et limites

Avantages

Solution exacte en forme fermée pour l'arbre circulaire, le cas auquel elle s'applique
Fournit les vérifications de résistance et de rigidité à partir des quatre mêmes données
Donne la torsion en degrés, comme les spécifications sont rédigées
S'étend directement aux arbres creux en substituant le J approprié
Assez simple pour se vérifier à la main lors d'une relecture de note de calcul

Limites

Valable pour les sections circulaires pleines seulement ; les autres formes exigent leur propre constante de torsion
Suppose un comportement linéaire élastique sans plastification
Ne tient pas compte des concentrations de contrainte aux clavetages, cannelures, perçages et congés
Ignore la fatigue, qui gouverne tout arbre tournant sous charge
Ne combine pas la torsion avec la flexion ou l'effort normal, que les arbres réels reprennent d'ordinaire ensemble
Suppose un arbre prismatique de diamètre constant sur sa longueur
Omet les vibrations de torsion et la vitesse critique, qui comptent pour les arbres longs ou rapides

Arbres pleins et creux de même diamètre extérieur

La matière proche de l'axe ne porte presque aucune contrainte de torsion : la retirer coûte donc bien moins de capacité que de poids. C'est l'argument des arbres creux dans toute application sensible à la masse.

Moment d'inertie polaire d'un arbre de 50 mm de diamètre extérieur à alésage variable. La capacité est proportionnelle à J ; la masse est proportionnelle à l'aire de section.
Arbre	Moment polaire J	Capacité conservée	Masse conservée	Gain d'efficacité
Plein, 50 mm	613 592 mm⁴	100%	100%	1,00 (référence)
Creux, 50/25 mm	575 243 mm⁴	94%	75%	1.25×
Creux, 50/30 mm	534 071 mm⁴	87%	64%	1.36×
Creux, 50/35 mm	466 269 mm⁴	76%	51%	1.49×
Creux, 50/40 mm	362 265 mm⁴	59%	36%	1.64×
Creux, 50/45 mm	211 014 mm⁴	34%	19%	1.81×

Questions fréquentes

Comment calculer une contrainte de cisaillement en torsion ?

Employez τ = Tr/J, où T est le couple appliqué, r le rayon extérieur et J le moment d'inertie polaire, égal à πD⁴/32 pour un arbre circulaire plein. Un couple de 500 N·m sur un arbre de 50 mm donne 20,37 MPa en surface.

Qu'est-ce que le moment d'inertie polaire ?

L'équivalent en torsion du moment quadratique de section, qui décrit comment une section résiste au vrillage. Pour un cercle plein il vaut πD⁴/32 ; pour un cercle creux, π(D⁴ − d⁴)/32. Sa dépendance en puissance quatre du diamètre explique l'importance de la section.

Comment calculer l'angle de torsion ?

θ = TL/(JG) donne l'angle en radians, qu'on convertit en degrés en multipliant par 180/π. Notez que G est le module de cisaillement, environ 79 GPa pour l'acier — employer le module d'Young à sa place sous-estimerait la torsion d'un facteur voisin de 2,5.

Où la contrainte de torsion est-elle maximale dans un arbre ?

En surface extérieure, là où le rayon est le plus grand. La contrainte varie linéairement de zéro sur l'axe jusqu'au maximum en surface, ce qui explique précisément l'efficacité des arbres creux — la matière retirée au centre ne travaillait presque pas.

Pourquoi le diamètre est-il si efficace en torsion ?

Parce que J croît avec la puissance quatre du diamètre alors que le rayon au numérateur ne croît qu'à la puissance un. Effet net : la contrainte décroît comme le cube du diamètre et la torsion comme sa puissance quatre. Passer de 50 à 60 mm réduit la contrainte de 42 % et la torsion de 52 %.

Combien de capacité un arbre creux perd-il ?

Bien moins que le poids qu'il économise. Un arbre de 50 mm alésé à 30 mm conserve 87 % de sa capacité en torsion tout en perdant 36 % de sa masse. La matière proche de l'axe ne porte presque aucune contrainte : la retirer coûte peu.

Quel angle de torsion est acceptable ?

Cela dépend de l'application. Les arbres de transmission se limitent couramment à environ 0,25 degré par mètre ; les entraînements de positionnement de précision exigent bien moins ; les barres de torsion, elles, sont conçues pour se tordre délibérément de plusieurs degrés.

Peut-on employer ces formules pour une barre rectangulaire ?

Non. Les sections non circulaires gauchissent hors de leur plan sous couple, et la théorie simple s'effondre. Les barres rectangulaires emploient des coefficients empiriques, leur contrainte de pointe se situe au milieu du grand côté, et leur constante de torsion est bien plus faible que le moment polaire ne le suggère.

Quel est le module de cisaillement de l'acier ?

Environ 79 GPa (11 500 ksi) pour les aciers de construction et de mécanique. Il se relie au module d'Young par G = E/2(1+ν), ce qui donne environ 0,385E avec un coefficient de Poisson de 0,3. L'aluminium vaut environ 26 GPa et le titane 44 GPa.

Faut-il vérifier la fatigue d'un arbre ?

Pour tout arbre qui tourne sous charge, oui. La rotation inverse la contrainte de flexion à chaque tour : c'est donc la fatigue et non la limite élastique statique qui gouverne. La limite d'endurance peut valoir moins de la moitié de l'admissible statique, et moins encore avec une clavette ou un congé vif.

Glossaire

Torsion: Vrillage d'une barre autour de son axe longitudinal sous un moment appliqué.
Couple (T): Le moment de torsion appliqué autour de l'axe d'un arbre.
Moment d'inertie polaire (J): La caractéristique de section décrivant la résistance au vrillage, égale à πD⁴/32 pour un cercle plein.
Module de cisaillement (G): Le rapport de la contrainte de cisaillement à la déformation de cisaillement en élasticité, environ 79 GPa pour l'acier.
Angle de torsion: La rotation relative entre deux sections d'un arbre, exprimée d'ordinaire en degrés ou en degrés par mètre.
Rigidité de torsion: Le produit JG, analogue en torsion de la rigidité de flexion EI.
Gauchissement: Déformation hors plan d'une section non circulaire sous couple, que les sections circulaires ne présentent pas.
Concentration de contrainte: Élévation locale de la contrainte au droit d'une discontinuité géométrique : rainure de clavette, perçage ou congé.
Section fermée: Section creuse à périmètre continu, radicalement plus rigide en torsion qu'une section ouverte de même aire.

Références scientifiques et normatives

Gere, J. M. & Goodno, B. J., Mechanics of Materials, 9ᵉ édition — chapitre 3 : torsion — Cengage Learning
Shigley's Mechanical Engineering Design, 11ᵉ édition — chapitre 7 : arbres et composants d'arbres — McGraw-Hill
Roark's Formulas for Stress and Strain, 9ᵉ édition — chapitre 10 : torsion — McGraw-Hill
Pilkey, W. D. & Pilkey, D. F., Peterson's Stress Concentration Factors, 3ᵉ édition — Wiley
AISC Design Guide 9: Torsional Analysis of Structural Steel Members — American Institute of Steel Construction

Conclusion

La contrainte de cisaillement en torsion d'un arbre circulaire vaut Tr/J et l'angle de torsion TL/(JG), le moment d'inertie polaire πD⁴/32 faisant l'essentiel du travail. Cette puissance quatre est le titre pratique : la contrainte décroît comme le cube du diamètre et la torsion comme sa puissance quatre, si bien que porter un arbre de 50 à 60 mm réduit la contrainte de 42 % et la torsion de 52 % — une amélioration qu'aucun changement de matériau ne peut égaler. Deux mises en garde valent pour toutes les applications. La théorie n'est exacte que pour les sections circulaires, seules à ne pas gauchir ; et un arbre tournant est un problème de fatigue, gouverné par les concentrations de contrainte aux clavetages et aux congés plutôt que par la contrainte nominale que renvoie ce calcul.

Saisissez votre arbre ci-dessus, puis balayez le diamètre dans le graphique pour voir la chute rapide de la contrainte et de la torsion.

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