La flèche d'un arbre sous charge centrée vaut FL³/(48EI) et, le moment quadratique dépendant de la puissance quatrième du diamètre, la flèche décroît en d⁻⁴. Saisissez le diamètre, la portée, la charge et le module du matériau pour obtenir la flèche, la contrainte de flexion, le moment quadratique et la rotation aux paliers — cette dernière étant ce à quoi un palier s'oppose réellement.
Calculateur
Unités :
mm
Diamètre de l'arbre plein
mm
Distance entre axes de paliers
N
Charge concentrée appliquée à mi-portée
GPa
Acier 200, aluminium 70, titane 110, fonte 120
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir la flèche maximale à mi-portée, la contrainte de flexion en ce point, le moment quadratique et la rotation aux appuis. La flèche est normalement limitée à environ portée/3000, et la rotation aux paliers à 0,001 radian.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Donne la rotation aux appuis, à laquelle les paliers sont plus sensibles qu'à la flèche
✓Fournit la contrainte de flexion à côté de la flèche, pour que les deux vérifications soient visibles
✓Rend explicite la dépendance à la puissance quatrième du diamètre
✓Alerte face aux limites de portée/3000 et de 0,001 rad
✓Le graphique de sensibilité montre à quel point le diamètre domine
✓Liens partageables et export CSV pour le dossier de projet
Qu'est-ce que la flèche d'un arbre ?
Un arbre portant une charge entre deux paliers se comporte comme une poutre. Pour une portée sur deux appuis avec une charge concentrée au centre, la flèche maximale vaut FL³/(48EI) et se produit à mi-portée. E est le module d'Young du matériau et I le moment quadratique, qui vaut πd⁴/64 pour une section circulaire pleine. La contrainte de flexion au même point est le moment fléchissant FL/4 divisé par le module de flexion πd³/32.
Pourquoi la raideur commande avant la résistance
Un arbre peut être parfaitement sûr en contrainte et rester inutilisable. La flèche désaligne ce qu'il porte : un couple d'engrenages dont les arbres s'affaissent n'engrène plus sur toute la largeur de denture, la charge se concentre à une extrémité et la pression de contact monte bien au-dessus de la valeur de projet. La pratique courante en machinerie limite la flèche à environ portée/3000, et à portée/5000 pour les arbres portant des engrenages — des valeurs bien plus sévères que ne l'exigerait le moindre critère de contrainte.
La rotation aux paliers
La flèche à mi-portée est le chiffre que l'on cite, mais c'est la rotation aux appuis que subissent les paliers. La plupart des roulements et des paliers lisses tolèrent environ 0,001 radian de désalignement avant que la charge ne se concentre sur un bord du chemin de roulement et que la durée de vie ne s'effondre. Les roulements à rotule existent précisément parce que cette limite est facile à dépasser sur un arbre long ou élancé.
Formule
δ = F·L³ / (48·E·I)
Flèche maximale à mi-portée d'un arbre sur deux appuis avec charge concentrée centrée
Formules associées
I = π·d⁴ / 64
σ = (F·L/4) / (π·d³/32)
θ = F·L² / (16·E·I)
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
F
Charge centrée
N
Charge concentrée appliquée à mi-portée.
L
Portée
mm
Distance entre axes de paliers. La flèche varie comme son cube.
d
Diamètre de l'arbre
mm
Diamètre de l'arbre plein. La flèche varie à l'inverse de sa puissance quatrième.
E
Module d'Young
GPa
200 pour l'acier, 70 pour l'aluminium, 110 pour le titane.
I
Moment quadratique
mm⁴
πd⁴/64 pour une section circulaire pleine.
θ
Rotation aux appuis
rad
Désalignement angulaire présenté aux paliers, limité en général à 0,001.
Comment utiliser ce calculateur
Utilisez la portée entre axes de paliersEt non la longueur totale de l'arbre. Les tronçons en porte-à-faux au-delà des paliers fléchissent selon une autre formule et sont en général bien pires, un porte-à-faux de même longueur fléchissant seize fois plus qu'une portée sur deux appuis.
Placez la charge là où elle agit vraimentCe calcul suppose une charge concentrée centrée, qui donne la flèche maximale pour une charge totale donnée. Une charge décentrée fléchit moins : l'hypothèse centrée est donc sécuritaire, et pour une charge répartie le coefficient passe de 1/48 à 5/384.
Vérifiez la rotation, pas seulement la flècheC'est la rotation aux appuis que les paliers subissent comme un désalignement. Il est tout à fait possible de satisfaire une limite de flèche et de dépasser 0,001 radian, en particulier sur une portée courte fortement chargée.
Comparez à une limite de raideur, non de contraintePortée/3000 en machinerie générale, et portée/5000 lorsque l'arbre porte des engrenages. Ces limites sont bien plus sévères que n'importe quel critère de contrainte, et c'est pourquoi les arbres se dimensionnent en raideur.
Rappelez-vous ce que ce calcul laisse de côtéLa torsion agissant simultanément, le poids propre de l'arbre, les concentrations de contraintes aux rainures de clavette et aux épaulements, et la vitesse critique sont autant de vérifications distinctes. Un arbre en rotation fait en outre passer chaque fibre par un cycle complet de traction et de compression à chaque tour : c'est donc la fatigue et non la limite d'élasticité qui gouverne la contrainte.
Exemples résolus
Exemple 1
Un arbre en acier de 30 mm sur une portée de 600 mm entre paliers, portant une charge de 2 000 N à mi-portée. Module d'Young 200 GPa.
Solution étape par étape
Moment quadratique : I = π × 30⁴/64 = π × 810 000/64 = 39 761 mm⁴
Moment fléchissant à mi-portée : FL/4 = 2 000 × 600/4 = 300 000 N·mm
Module de flexion : πd³/32 = 2 651 mm³, d'où une contrainte de flexion de 300 000/2 651 = 113,2 MPa
Rotation aux appuis : FL²/(16EI) = 0,005659 rad, soit 0,324°
Lecture : les 113 MPa de contrainte sont modestes pour de l'acier, mais portée/530 vaut presque six fois la limite de portée/3000, et la rotation aux appuis atteint 5,7 fois les 0,001 rad que tolèrent les paliers. Cet arbre échoue en raideur tout en passant confortablement en résistance.
Exemple 2
La même portée et la même charge avec le diamètre porté à 50 mm : le remède que la relation en puissance quatrième rend si efficace.
Solution étape par étape
Moment quadratique : I = π × 50⁴/64 = 306 796 mm⁴, contre 39 761 mm⁴ à 30 mm
Soit un facteur 7,72, qui vaut exactement (50/30)⁴
Flèche : 0,1467 mm, contre 1,132 mm — plus petite du même facteur 7,72
Portée/flèche : 600/0,1467 = 4 091, confortablement au-delà de la limite de portée/3000
Rotation aux appuis : 0,000733 rad, désormais sous la limite de 0,001 rad des paliers
Contrainte de flexion : 24,4 MPa, contre 113,2 MPa — un facteur de 4,63 seulement, parce que la contrainte varie en d³ et non en d⁴
Cet écart entre les deux exposants est tout le sujet. Augmenter le diamètre de 67 % a amélioré la contrainte d'un facteur 4,6 et la raideur d'un facteur 7,7 : un arbre qui échouait en raideur et passait en contrainte passe maintenant les deux avec de la marge.
Cela explique aussi l'efficacité des arbres creux. Retirer de la matière au centre, là où la contrainte de flexion est presque nulle, coûte très peu de moment quadratique et fait gagner une masse considérable — ce qui compte dès que le poids propre de l'arbre et sa vitesse critique entrent en jeu.
Sensibilité au diamètre
La flèche s'effondre quand le diamètre augmente, puisqu'elle varie à l'inverse de la puissance quatrième. La contrainte de flexion ne baisse qu'avec le cube : les deux courbes se séparent donc, et c'est pourquoi un arbre peut passer en contrainte et échouer en raideur. Le repère indique votre diamètre actuel.
Flèche maximaleen fonction deDiamètre de l'arbre
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de Flèche maximale en fonction de Diamètre de l'arbre. Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de diamètre de l'arbre.
Comment interpréter le résultat
La flèche rapportée à la portée est le critère d'acceptation habituel, mais c'est la rotation aux appuis qui détermine si les paliers survivront. Les deux sont des limites de raideur, et toutes deux sont bien plus sévères que la vérification en contrainte.
Flèche maximale: < 0.05Très raide
Une flèche de your result mm est assez faible pour satisfaire n'importe quel critère courant. Vérifiez si l'arbre n'est pas plus lourd que nécessaire : une section creuse retire de la matière au centre, là où elle contribue le moins à la raideur.
Flèche maximale: 0.05 – 0.3Dans les limites courantes
Une flèche de your result mm satisfait vraisemblablement la limite générale de portée/3000. Confirmez-le face à la portée réelle, et vérifiez la rotation aux appuis séparément : les deux limites ne concordent pas toujours.
Flèche maximale: 0.3 – 1À comparer à la portée
Une flèche de your result mm demande à être comparée à la portée. Elle peut être acceptable sur un arbre long et excessive sur un arbre court, et si l'arbre porte des engrenages c'est la limite plus sévère de portée/5000 qui s'applique.
Flèche maximale: ≥ 1Excessive pour la plupart des machines
Une flèche de your result mm dépasse les limites courantes, sauf si la portée est très longue. Augmenter le diamètre est ici particulièrement efficace, puisque la flèche varie à l'inverse de la puissance quatrième : un arbre 19 % plus gros la divise par deux.
Rotation aux appuis: ≥ 0.001Limite de désalignement des paliers dépassée
Une rotation aux appuis de your result rad dépasse les 0,001 rad que tolèrent la plupart des paliers. Le désalignement angulaire charge un bord du chemin de roulement et réduit fortement la durée de vie. Il faut soit raidir l'arbre, soit prescrire des roulements à rotule, qui existent exactement pour ce cas.
Contrainte de flexion: ≥ 100Contrainte de flexion notable
Une contrainte de flexion de your result MPa compte davantage sur un arbre en rotation que le chiffre ne le laisse penser, car chaque fibre parcourt un cycle complet traction-compression à chaque tour. C'est la fatigue qui gouverne, et la limite d'endurance se situe bien sous la limite d'élasticité, avant même de compter la moindre concentration de contraintes aux clavetages ou aux épaulements.
Erreurs courantes à éviter
Dimensionner l'arbre sur la seule contrainte
Pourquoi c'est important :Un arbre peut passer confortablement une vérification en contrainte et rester bien trop souple. L'exemple traité ne porte que 113 MPa — modeste pour de l'acier — tout en fléchissant à portée/530, soit près de six fois la limite générale.
✓Comment l'éviter :Vérifiez aussi la flèche et la rotation aux appuis. Pour la plupart des arbres de machine, c'est la raideur qui gouverne, et la vérification en contrainte est satisfaite d'office une fois celle-ci respectée.
Vérifier la flèche mais pas la rotation aux paliers
Pourquoi c'est important :Ce sont deux grandeurs différentes avec des limites différentes, et une portée courte fortement chargée peut satisfaire un critère de flèche tout en dépassant largement les 0,001 rad que tolèrent les paliers. C'est le palier qui lâche, pas l'arbre.
✓Comment l'éviter :Calculez les deux. Là où la rotation ne peut pas être réduite, des roulements à rotule sur billes ou à rotule sur rouleaux l'absorbent par conception.
Prendre la longueur totale de l'arbre au lieu de la portée entre paliers
Pourquoi c'est important :La formule s'applique entre appuis. Les tronçons au-delà d'un palier se comportent en porte-à-faux, et un porte-à-faux d'une longueur donnée fléchit seize fois plus qu'une portée sur deux appuis de même longueur.
✓Comment l'éviter :Employez l'entraxe des paliers pour ce calcul et traitez les porte-à-faux à part. Les charges en porte-à-faux constituent en général le cas le plus critique.
Ignorer la torsion simultanée
Pourquoi c'est important :Un arbre transmettant de la puissance subit un cisaillement de torsion en même temps que la flexion. C'est l'état de contrainte combiné qui compte, et un arbre satisfaisant en flexion seule peut ne plus l'être une fois la torsion superposée.
✓Comment l'éviter :Combinez flexion et torsion selon un critère de rupture adapté, et rappelez-vous qu'un arbre en rotation sous flexion constante subit une sollicitation alternée symétrique.
Négliger les concentrations de contraintes
Pourquoi c'est important :Rainures de clavette, épaulements, gorges de circlips et perçages transversaux élèvent tous la contrainte locale bien au-dessus de la valeur nominale : un épaulement vif peut plus que la doubler. Les ruptures de fatigue partent de ces accidents de forme, à de très rares exceptions près.
✓Comment l'éviter :Appliquez des coefficients de concentration de contraintes à chaque changement de section, et prévoyez des rayons de raccordement généreux. La contrainte nominale donnée ici est un point de départ, pas le maximum.
Ne pas vérifier la vitesse critique
Pourquoi c'est important :Tout arbre possède une fréquence propre à laquelle la flèche croît sans borne. Tourner à cette vitesse ou près d'elle est destructeur quelle que soit l'allure du calcul statique, et un arbre souple a par définition une vitesse critique basse.
✓Comment l'éviter :Calculez la première vitesse critique et tenez la vitesse de service franchement à l'écart. La raideur qui limite la flèche statique élève aussi la vitesse critique : les deux objectifs vont donc dans le même sens.
Applications pratiques
▸Dimensionner des arbres de machine par la raideur plutôt que par la résistance
▸Vérifier le désalignement des paliers sur un arbre existant
▸Évaluer l'alignement d'un engrènement en charge
▸Comparer des diamètres d'arbre en phase de conception
▸Évaluer l'effet d'un allongement de la portée entre paliers
▸Débroussailler une conception avant une analyse complète en sollicitations combinées
Cas d'usage par secteur
Conception de réducteurs
La flèche d'arbre est bien plus sévèrement limitée là où des engrenages sont portés, couramment à portée/5000, parce qu'un arbre qui s'affaisse concentre la charge de denture à une extrémité de la largeur. La pression de contact qui en résulte peut dépasser largement la valeur de projet alors même que la charge moyenne par dent n'a pas changé.
Pompes et machines tournantes
La raideur d'arbre gouverne la durée de vie des garnitures autant que celle des paliers, car une flèche au droit de la portée de joint provoque une usure inégale et des fuites. Les conceptions à roue en porte-à-faux y sont particulièrement sensibles, la flèche du porte-à-faux dominant l'ensemble.
Machines-outils
La raideur de broche fixe directement la précision atteignable : toute flèche sous l'effort de coupe devient une erreur dimensionnelle sur la pièce. Les broches sont donc dimensionnées très au-delà de ce qu'exige la résistance, et les portées courtes entre paliers avec de grands diamètres sont la règle.
Conseils pratiques
💡La flèche varie en d⁻⁴ : un diamètre 19 % plus grand la divise par deux.
💡La flèche varie en L³ : une portée 26 % plus longue la double.
💡La contrainte ne varie qu'en d⁻³, et c'est pourquoi la raideur commande avant la résistance.
💡La rotation aux appuis est limitée à environ 0,001 rad ; la flèche à environ portée/3000.
💡Un porte-à-faux fléchit seize fois plus qu'une portée sur deux appuis.
💡Les arbres creux perdent peu de raideur et font gagner une masse considérable.
Avantages et limites
Avantages
✓Donne la rotation aux appuis, la vérification la plus souvent omise
✓Fournit flèche et contrainte ensemble, si bien que le critère déterminant est visible
✓Rend explicite l'écart entre les exposants d⁴ et d³
✓Alerte sur les deux limites de raideur et pas seulement sur celle de contrainte
✓Assez simple pour être vérifié à la main lors d'une revue de conception
Limites
!Suppose un arbre sur deux appuis avec une unique charge concentrée centrée
!Ne couvre pas les tronçons en porte-à-faux, qui fléchissent bien davantage
!Ignore le poids propre de l'arbre, significatif sur les arbres longs ou de gros diamètre
!Ne tient pas compte de la torsion agissant simultanément
!Donne une contrainte nominale sans coefficients de concentration aux clavetages ni aux épaulements
!Ne calcule pas la vitesse critique, à laquelle un arbre souple est vulnérable
!Suppose une section circulaire pleine et uniforme sur toute la portée
Comment le diamètre gouverne la raideur
Une portée de 600 mm portant 2 000 N à mi-portée, en acier. Comparez la vitesse à laquelle la flèche chute par rapport à la contrainte : cet écart est la raison pour laquelle les arbres se dimensionnent en raideur.
Portée de 600 mm, charge centrée de 2 000 N, acier à 200 GPa. De 20 à 50 mm, le diamètre est multiplié par 2,5, la flèche divisée par 39,1 (2,5⁴ = 39,1) et la contrainte seulement par 15,6 (2,5³ = 15,6). Seul l'arbre de 50 mm satisfait à la fois portée/3000 et la limite de rotation de 0,001 rad.
Pour un arbre sur deux appuis avec charge centrée, δ = FL³/(48EI) avec I = πd⁴/64. Un arbre en acier de 30 mm sur 600 mm portant 2 000 N fléchit de 1,132 mm, soit portée/530, ce qui est bien au-delà de la limite courante.
Quel effet le diamètre de l'arbre a-t-il sur la flèche ?
Un effet énorme : la flèche varie à l'inverse de la puissance quatrième du diamètre. Une augmentation de 19 % la divise par deux, et passer de 20 mm à 50 mm la réduit d'un facteur 39. C’est de loin le levier le plus efficace dont dispose le concepteur.
Quelle flèche d'arbre est acceptable ?
Environ portée/3000 en machinerie générale, et portée/5000 lorsque l'arbre porte des engrenages. Ces limites de raideur sont bien plus sévères que n'importe quel critère de contrainte, et c'est pourquoi les arbres se dimensionnent en raideur. Elles découlent de la tolérance de l’organe porté, non de celle de l’acier.
Quelle est la limite de rotation au niveau d'un palier ?
Environ 0,001 radian pour la plupart des roulements et des paliers lisses. Au-delà, la charge se concentre sur un bord du chemin de roulement et la durée de vie chute fortement. Les roulements à rotule existent précisément pour en accepter davantage.
Pourquoi la raideur est-elle plus critique que la résistance pour un arbre ?
Parce que la flèche désaligne ce que l'arbre porte. Un engrènement, une portée de joint ou un palier lâchera par désalignement bien avant que l'acier ne plastifie : l'exemple traité ne porte que 113 MPa tout en fléchissant près de six fois au-delà de la limite générale.
Quel effet la portée a-t-elle sur la flèche ?
Un effet en cube. Une portée 26 % plus longue double la flèche : écarter les paliers nuit donc bien plus à la raideur qu'il n'y paraît. Raccourcir la portée est souvent plus facile que de grossir l'arbre. Vérifiez-le avant d’accepter une implantation imposée par l’encombrement.
Pourquoi contrainte et flèche n'évoluent-elles pas de la même façon ?
La contrainte dépend du module de flexion, qui varie en d³, tandis que la flèche dépend du moment quadratique, qui varie en d⁴. Augmenter le diamètre améliore donc la raideur plus vite que la résistance. C’est cet écart d’exposant qui fait diverger les deux critères.
Les arbres creux sont-ils plus raides à masse égale ?
Oui. La matière proche du centre ne porte presque aucune contrainte de flexion et contribue peu au moment quadratique : la retirer coûte une petite fraction de la raideur tout en faisant gagner une masse considérable, ce qui élève aussi la vitesse critique.
Qu'est-ce que la vitesse critique ?
C'est la vitesse de rotation qui coïncide avec la fréquence propre de l'arbre, à laquelle la flèche croît sans borne. Un arbre souple a par définition une vitesse critique basse : la raideur qui limite la flèche statique maintient donc aussi la vitesse critique élevée.
Ce calcul inclut-il la torsion ?
Non. Un arbre transmettant de la puissance subit un cisaillement de torsion en même temps que la flexion, et c'est l'état de contrainte combiné qui gouverne. Ceci ne donne que la flexion, point de départ plutôt que vérification complète. Combinez les deux avec un critère de rupture adapté avant de figer le diamètre.
Glossaire
Moment quadratique
Caractéristique de section mesurant la résistance à la flexion ; πd⁴/64 pour un cercle plein.
Module de flexion
Moment quadratique divisé par la distance à la fibre extrême ; πd³/32 pour un cercle plein.
Module d'Young
Raideur d'un matériau en traction et en flexion ; 200 GPa pour l'acier.
Sur deux appuis
Poutre reposant sur des appuis autorisant la rotation mais pas le déplacement vertical.
Rotation aux appuis
Angle que prend l'arbre au droit de ses paliers, que ceux-ci perçoivent comme un désalignement.
Vitesse critique
Vitesse de rotation à laquelle la fréquence propre de l'arbre est excitée par la rotation.
Concentration de contraintes
Élévation locale de la contrainte à une rainure de clavette, un épaulement ou un perçage.
Sollicitation alternée symétrique
Cycle traction-compression que subit chaque fibre d'un arbre en rotation à chaque tour.
Limite d'endurance
Contrainte sous laquelle un acier résiste indéfiniment en sollicitation cyclique, bien en deçà de la limite d'élasticité.
Roulement à rotule
Type de roulement conçu pour absorber un désalignement angulaire entre l'arbre et son logement.
Références scientifiques et normatives
Shigley, J. E. et Mischke, C. R., Mechanical Engineering Design, chapitre sur les arbres et leurs composants — McGraw-Hill
Roark's Formulas for Stress and Strain, 8e édition : Beams — Deflection and Slope — McGraw-Hill
ISO 281 : Roulements — Charges dynamiques de base et durée nominale (effets du désalignement) — Organisation internationale de normalisation
AGMA 6001 : Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives — American Gear Manufacturers Association
Peterson's Stress Concentration Factors, 3e édition — Wiley
Conclusion
La flèche d'un arbre est gouvernée par deux exposants qui tirent en sens opposés pour le concepteur. La portée intervient en cube : écarter les paliers nuit donc plus qu'il n'y paraît, une portée 26 % plus longue doublant la flèche. Le diamètre intervient à l'inverse en puissance quatrième : grossir l'arbre est d'autant plus efficace, une augmentation de 19 % divisant la flèche par deux. Le plus important est que la contrainte ne varie qu'avec le cube du diamètre : les deux critères se séparent donc. Le tableau ci-dessus montre un arbre de 30 mm portant de modestes 113 MPa tout en fléchissant à portée/530 — confortablement sûr en résistance et près de six fois au-delà de la limite de raideur. C'est la situation normale des arbres de machine, et c'est pourquoi on les dimensionne en raideur. La vérification la plus souvent oubliée est la rotation aux appuis : les paliers tolèrent environ 0,001 radian, et il est tout à fait possible de satisfaire une limite de flèche tout en la dépassant.
Saisissez ci-dessus le diamètre, la portée et la charge de votre arbre pour vérifier les deux limites de raideur.
