Le moment d'inertie mesure l'efficacité avec laquelle une section répartit sa matière loin de son axe de flexion. Pour un rectangle, il vaut I = bh³/12. Saisissez les dimensions extérieures — et intérieures pour une section creuse — et ce calculateur renvoie Ixx, Iyy, l'aire et le rayon de giration, les quatre grandeurs dont dépend toute vérification de poutre ou de poteau.
Calculateur
Unités :
mm
Dimension horizontale extérieure
mm
Dimension verticale extérieure, parallèle à la charge
mm
Laissez à 0 pour une section pleine
mm
Laissez à 0 pour une section pleine
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir le moment d'inertie autour des deux axes, l'aire de la section et le rayon de giration. Laissez les dimensions intérieures à zéro pour une section pleine ; renseignez-les pour modéliser un profil creux rectangulaire.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Traite les sections rectangulaires pleines et creuses depuis le même formulaire
✓Donne Ixx et Iyy ensemble, pour que l'axe faible ne soit jamais oublié
✓Fournit aussi l'aire et le rayon de giration, données d'une vérification au flambement
✓Affiche la substitution, pour que le résultat se refasse à la main
✓Le graphique de sensibilité rend immédiatement visible l'effet cubique de la hauteur
✓Résultats exportables en CSV ou partageables par un lien qui reproduit votre section
Qu'est-ce que le moment d'inertie ?
Le moment quadratique de section est l'intégrale de y²·dA sur la section, où y est la distance à l'axe neutre. Le carré dans cette intégrale résume tout : une matière située deux fois plus loin de l'axe contribue quatre fois plus. Effectuer l'intégration pour un rectangle de largeur b et de hauteur h autour de son axe centroïdal horizontal donne le familier I = bh³/12, et faire pivoter la section de quatre-vingt-dix degrés donne I = hb³/12 autour de l'axe vertical.
Pourquoi la hauteur domine
Comme h est au cube et b seulement à la puissance un, la hauteur est la variable sur laquelle il vaut la peine de dépenser de la matière. Un rectangle de 100 × 200 mm dressé a quatre fois la rigidité du même rectangle couché. Cette dissymétrie explique la forme de presque toutes les barres de structure : les solives sont hautes et étroites, les profilés en I concentrent l'aire dans les semelles les plus éloignées de l'axe, et un tube creux retire exactement la matière la plus proche du centre, celle qui contribue le moins.
Sections creuses et soustraction
Pour un rectangle creux symétrique, le vide intérieur partage le centre de gravité de la forme extérieure : le résultat est donc simplement le moment d'inertie extérieur moins l'intérieur, I = (BH³ − bh³)/12. Un profil creux rectangulaire peut ainsi conserver l'essentiel de sa rigidité de flexion tout en perdant une grande part de son poids. Lorsque les parties d'une section composée ne partagent pas le même centre de gravité, cette soustraction simple ne vaut plus et le théorème de Huygens s'impose.
Formule
I_xx = bh³ / 12
Moment quadratique d'un rectangle plein autour de son axe centroïdal horizontal
Formules associées
I_yy = hb³ / 12
I_xx = (BH³ − bh³) / 12
I = I_c + A·d²
r = √(I / A)
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
I_xx
Moment d'inertie, axe x
×10⁶ mm⁴
Résistance à la flexion autour de l'axe horizontal — l'axe fort d'un rectangle dressé.
I_yy
Moment d'inertie, axe y
×10⁶ mm⁴
Résistance à la flexion autour de l'axe vertical. C'est en général la valeur qu'exige une vérification au flambement.
b
Largeur
mm
Dimension horizontale de la section, mesurée perpendiculairement à la hauteur.
h
Hauteur
mm
Dimension verticale, parallèle à la charge appliquée. Élevée au cube, elle domine la rigidité.
A
Aire de la section
mm²
Aire brute de la section, employée pour la résistance axiale et pour le rayon de giration.
r
Rayon de giration
mm
La quantité √(I/A), qui décrit à quelle distance effective l'aire est répartie de l'axe.
Comment utiliser ce calculateur
Orientez la section comme elle sera chargéeLa largeur se mesure perpendiculairement à la charge, la hauteur parallèlement. Inverser les deux sur un rectangle dressé sous-estime la rigidité d'un facteur (h/b)², soit un facteur seize pour une section 100 × 400.
Saisissez d'abord les dimensions extérieuresPour une section pleine, saisissez largeur et hauteur et laissez les deux champs intérieurs à zéro. Le calculateur renverra les valeurs de la section pleine.
Ajoutez les dimensions intérieures pour une section creusePour un profil creux rectangulaire, saisissez les dimensions libres intérieures. Le calculateur soustrait le vide, ce qui est valable parce que les rectangles extérieur et intérieur partagent le même centre de gravité.
Lisez les deux axesIxx gouverne la flexion autour de l'axe fort, Iyy autour de l'axe faible. Une vérification de poteau exige la plus petite des deux, puisque le flambement se produit dans la direction de moindre résistance.
Reportez les valeurs dans les vérifications dépendantesIxx alimente directement les calculs de flèche et de flexion ; le rayon de giration et l'aire alimentent la vérification au flambement. Les calculateurs liés ci-dessous prennent ces nombres en données.
Exemples résolus
Exemple 1
Une poutre en bois de section rectangulaire pleine mesure 200 mm de large et 400 mm de haut. Cherchons ses caractéristiques autour des deux axes.
Rayon de giration : r_x = √(Ixx/A) = √(1 066 666 667 / 80 000) = √13 333,3 = 115,5 mm
Notez le rapport : Ixx vaut exactement quatre fois Iyy, puisque (h/b)² = (400/200)² = 4. Coucher cette poutre lui coûterait les trois quarts de sa rigidité de flexion.
Exemple 2
Le même contour de 200 × 400 mm, mais en profil creux rectangulaire avec un vide de 150 × 350 mm — soit une paroi de 25 mm tout autour. Cela montre quelle rigidité survit au retrait du cœur.
Rayon de giration : r_x = √(530,73×10⁶ / 27 500) = √19 299 = 138,9 mm
La comparaison est le point essentiel : retirer 66 % de la matière ne coûte que 50 % de la rigidité de flexion, et le rayon de giration s'améliore même, de 115,5 mm à 138,9 mm — ce qui explique l'efficacité des profils creux en compression.
Sensibilité à la hauteur
Comme la hauteur est au cube, Ixx croît bien plus vite que l'aire. Balayez la hauteur à largeur constante pour voir les deux courbes diverger — cet écart est précisément la raison de l'efficacité des sections hautes. Le marqueur indique votre hauteur actuelle.
I_xx (axe x)en fonction deHauteur (h)
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de I_xx (axe x) en fonction de Hauteur (h). Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de hauteur (h).
Comment interpréter le résultat
Le moment d'inertie est une grandeur géométrique et non une vérification à seuil : aucun règlement ne lui fixe de limite. Ce qui compte, c'est la relation entre les nombres : le rapport entre les deux axes dit à quel point la section est directionnelle, et le rayon de giration dit comment elle se comportera en compression.
Rayon de giration r_x : < 30Section ramassée — attendez-vous à une faible résistance au flambement
Un rayon de giration de < 30 mm est faible : toute longueur de flambement notable produira un élancement élevé. Vérifiez soigneusement le flambement avant d'employer cette section en compression.
Rayon de giration r_x : 30 – 150Proportions structurales courantes
Un rayon de giration de 30 – 150 mm se situe dans la plage normale des barres de structure. Combinez-le à la longueur de flambement pour former KL/r et confrontez le résultat à la courbe de flambement.
Rayon de giration r_x : ≥ 150Section efficacement répartie
Un rayon de giration de ≥ 150 mm est élevé : l'aire se situe bien à l'écart de l'axe neutre. De telles sections résistent efficacement au flambement pour leur poids — la raison pour laquelle profils creux et larges ailes sont préférés en compression.
Erreurs courantes à éviter
Intervertir largeur et hauteur
Pourquoi c'est important :La formule n'est pas symétrique : bh³/12 et hb³/12 diffèrent d'un facteur (h/b)². Pour une section 100 × 300, c'est un facteur neuf, l'écart entre une poutre qui tient et une poutre qui casse.
✓Comment l'éviter :La hauteur est toujours la dimension parallèle à la charge appliquée, mesurée perpendiculairement à l'axe de flexion. Croquez la section avec la flèche de charge avant de substituer.
Employer I_xx pour une vérification au flambement
Pourquoi c'est important :Un poteau flambe autour de l'axe de moindre résistance. Prendre la valeur de l'axe fort surestime la capacité — souvent d'un ordre de grandeur pour un profilé en I.
✓Comment l'éviter :Employez la plus petite de I_xx et I_yy pour le flambement, sauf si l'axe faible est véritablement maintenu sur sa longueur.
Soustraire un vide qui ne partage pas le centre de gravité
Pourquoi c'est important :La soustraction simple (BH³ − bh³)/12 n'est valable que si les formes intérieure et extérieure ont le même axe centroïdal. Un évidement décentré ou une section composée dissymétrique brise cette hypothèse.
✓Comment l'éviter :Localisez d'abord le centre de gravité de l'ensemble, puis appliquez le théorème de Huygens I = Ic + A·d² à chaque partie avant de sommer.
Confondre moment quadratique de section et moment d'inertie massique
Pourquoi c'est important :Ils partagent un nom mais sont deux grandeurs différentes : l'un s'exprime en longueur⁴ et gouverne la rigidité de flexion, l'autre en masse × longueur² et gouverne la dynamique de rotation.
✓Comment l'éviter :Pour la flexion des structures, employez toujours le moment quadratique en mm⁴ ou in⁴. Si vos unités comportent des kilogrammes, ce n'est pas la bonne grandeur.
Employer les caractéristiques brutes pour une section de béton fissurée
Pourquoi c'est important :Une fois qu'une section en béton armé fissure en traction, le béton situé sous l'axe neutre cesse de contribuer et la rigidité effective chute brutalement.
✓Comment l'éviter :Employez la section homogénéisée fissurée, ou le moment d'inertie effectif Ie de l'ACI 318-19 § 24.2.3, pour calculer les flèches du béton.
Applications pratiques
▸Calculer la flèche d'une poutre, où I figure directement au dénominateur
▸Déterminer la contrainte de flexion via le module de flexion S = I/c
▸Fournir I et r aux vérifications de flambement des poteaux
▸Comparer des sections candidates par leur rigidité par unité de poids
▸Concevoir des sections composées et reconstituées via le théorème de Huygens
▸Vérifier qu'une barre entaillée ou percée conserve une rigidité suffisante
Cas d'usage par secteur
Construction métallique
Les tables de profilés donnent I, S, Z et r pour toutes les formes laminées, mais les ingénieurs recalculent les caractéristiques à la main dès qu'un profilé est renforcé par des plats ou affaibli par un passage de réseaux, aucun de ces cas ne figurant dans les tables.
Structures bois
Solives et chevrons sont d'ordinaire de simples rectangles : bh³/12 s'applique directement. Une entaille en about réduit localement la hauteur utile, et comme la hauteur est au cube, une entaille du quart de la hauteur retire bien plus de la moitié de la rigidité locale.
Conception de produits et de machines
Les concepteurs de profilés extrudés itèrent sur l'épaisseur des parois et la position des nervures pour maximiser I par unité de masse. Comme l'aire croît linéairement quand l'inertie croît au cube avec la hauteur, surélever une nervure est presque toujours plus efficace que l'épaissir.
Conseils pratiques
💡Doubler la hauteur multiplie la rigidité par huit ; doubler la largeur ne fait que la doubler. Dépensez la matière en hauteur.
💡La matière proche de l'axe neutre n'apporte presque rien — c'est exactement ce qu'exploite une section creuse.
💡Le rapport Ixx/Iyy d'un rectangle vaut simplement (h/b)², contrôle de cohérence utile sur tout couple calculé.
💡Restez en millimètres. Des valeurs de 10⁶ à 10⁹ mm⁴ sont normales, et un résultat à trois ordres de grandeur signale d'ordinaire une erreur d'unité.
💡Pour une section composée, le terme A·d² écrase en général les Ic individuels — calculez soigneusement les décalages.
💡À aire égale, un rayon de giration plus grand fait toujours le meilleur élément comprimé, quelle que soit la forme.
Avantages et limites
Avantages
✓Résultat exact en forme fermée pour une géométrie rectangulaire, pleine ou creuse
✓Produit toutes les grandeurs qu'exigent les vérifications de flèche et de flambement en aval
✓Indépendant du matériau : un seul calcul sert acier, bois, béton et plastiques
✓S'étend à toute section composée par le théorème de Huygens
✓Assez simple pour se vérifier à la main lors d'une relecture de note de calcul
Limites
!Ne couvre que les rectangles et les rectangles creux symétriques, ni cercles, ni tés, ni cornières
!Suppose que le vide d'une section creuse partage le centre de gravité extérieur
!Donne des caractéristiques brutes, sans tenir compte des trous, entailles et réductions de section nette
!Ne tient compte ni de la fissuration du béton ni d'une action composite entre matériaux
!Ne calcule ni la constante de torsion J ni la constante de gauchissement, qui gouvernent la torsion
!Suppose que les axes saisis sont les axes principaux, ce qui est faux pour une section dissymétrique comme une cornière
Moment d'inertie selon la forme de la section
Chaque forme répartit son aire différemment. La colonne d'efficacité compare la rigidité par unité d'aire à celle d'un rectangle plein de même hauteur, seule façon équitable de juger si une forme mérite son poids.
Résultats courants pour la flexion autour de l'axe centroïdal horizontal. L'efficacité compare la rigidité par unité d'aire de section à hauteur égale.
Autour de son axe centroïdal horizontal, I = bh³/12, où b est la largeur et h la hauteur. Autour de l'axe vertical, les deux s'échangent : I = hb³/12. Un rectangle de 200 × 400 mm a donc 1 066,67 ×10⁶ mm⁴ selon l'axe fort et 266,67 ×10⁶ mm⁴ selon l'axe faible.
Pourquoi la hauteur est-elle au cube dans la formule ?
La définition intègre y²·dA sur la section : la contribution croît donc avec le carré de la distance à l'axe neutre. Intégrer ce carré sur la hauteur produit une puissance trois. C'est la raison pour laquelle la hauteur est la dimension la plus précieuse de toute barre fléchie.
Quelle différence entre moment d'inertie et module de flexion ?
Le moment d'inertie gouverne la rigidité et figure dans les formules de flèche. Le module de flexion, S = I/c où c est la distance à la fibre extrême, gouverne la contrainte et figure dans les vérifications de résistance. Les deux viennent de la même géométrie mais répondent à des questions différentes.
Comment trouver le moment d'inertie d'une section composée ?
Découpez-la en rectangles simples, localisez le centre de gravité de l'ensemble, puis appliquez le théorème de Huygens I = Ic + A·d² à chaque partie et sommez. Les termes A·d² dominent en général, si bien que la précision sur les décalages compte plus que sur les Ic individuels.
Qu'est-ce que le théorème de Huygens ?
Il énonce que le moment d'inertie d'une forme autour d'un axe parallèle à son axe centroïdal vaut Ic + A·d², où d est la distance entre les deux axes. C'est lui qui permet d'assembler des sections composées à partir de parties tabulées.
Le moment d'inertie est-il la même chose que le moment quadratique ?
En calcul des structures, oui — les deux noms désignent la même grandeur, de dimension longueur à la puissance quatre. Elle est distincte du moment d'inertie massique employé en dynamique, dont la dimension est une masse multipliée par une longueur au carré.
Quel moment d'inertie employer pour un poteau ?
Le plus petit des deux, car un poteau flambe autour de l'axe qui offre la moindre résistance. La seule exception survient quand l'axe faible est maintenu sur sa longueur : l'axe fort, avec sa plus grande longueur de flambement, peut alors devenir dimensionnant.
Combien de rigidité une section creuse perd-elle ?
Moins qu'on ne l'imagine. La matière proche de l'axe neutre n'apporte presque rien : un profil creux rectangulaire peut perdre environ deux tiers de son aire tout en conservant à peu près la moitié de sa rigidité de flexion — et son rayon de giration s'améliore même.
Le matériau influe-t-il sur le moment d'inertie ?
Non. Il est purement géométrique et identique pour de l'acier, du bois ou du plastique de même forme. Le matériau intervient par le module d'élasticité E, et c'est le produit EI, la rigidité de flexion, qui détermine la flèche réelle.
Quel effet une entaille a-t-elle sur une solive en bois ?
Un effet sévère, puisque la hauteur est au cube. Entailler le quart de la hauteur d'une solive n'en laisse que (0,75)³ = 42 % de la rigidité locale. C'est pourquoi les règles bois limitent la profondeur et la position des entailles, et interdisent généralement celles proches de la mi-portée.
Glossaire
Moment quadratique de section
L'intégrale de y²·dA sur une section, qui quantifie la résistance à la flexion. Dimension : longueur à la puissance quatre.
Axe neutre
La ligne d'une section où la contrainte de flexion est nulle, passant par le centre de gravité pour une section élastique homogène.
Centre de gravité
Le centre géométrique d'une section, autour duquel se mesurent les moments d'inertie centroïdaux.
Théorème de Huygens
La relation I = Ic + A·d², employée pour transporter le moment d'inertie d'une partie vers un axe décalé de la distance d.
Rayon de giration
La quantité √(I/A), soit la distance à laquelle toute l'aire pourrait être concentrée pour donner le même moment d'inertie.
Axes principaux
Le couple d'axes perpendiculaires passant par le centre de gravité pour lesquels le produit d'inertie s'annule, donnant les valeurs maximale et minimale de I.
Module de flexion
I divisé par la distance à la fibre extrême, S = I/c, employé pour la contrainte de flexion et non pour la rigidité.
Rigidité de flexion
Le produit EI du module d'élasticité par le moment d'inertie — la grandeur qui gouverne réellement la flèche.
Profil creux rectangulaire
Tube rectangulaire fermé dont le vide intérieur partage le centre de gravité extérieur, ce qui permet de trouver son inertie par simple soustraction.
Références scientifiques et normatives
AISC Steel Construction Manual, 16ᵉ édition — partie 1 : dimensions et caractéristiques — American Institute of Steel Construction
Gere, J. M. & Goodno, B. J., Mechanics of Materials, 9ᵉ édition — annexe D : caractéristiques des aires planes — Cengage Learning
Hibbeler, R. C., Structural Analysis, 10ᵉ édition — annexe A : caractéristiques géométriques d'une aire — Pearson
NF EN 1993-1-1 § 6.2 — Résistance des sections transversales — AFNOR
Roark's Formulas for Stress and Strain, 9ᵉ édition — tableau A.1 : caractéristiques des sections — McGraw-Hill
Conclusion
Le moment quadratique de section est la grandeur géométrique derrière toute vérification de flexion et de flambement, et pour un rectangle il se réduit à I = bh³/12. La dépendance cubique en hauteur est la leçon pratique : la hauteur achète de la rigidité bien moins cher que la largeur, la matière proche de l'axe neutre n'apporte presque rien, et retirer ce cœur est la raison pour laquelle les profils creux surpassent les sections pleines à poids égal. Calculez les deux axes par principe — c'est la valeur de l'axe faible qu'exige une vérification de poteau, et c'est celle qu'on oublie le plus souvent.
Saisissez votre section ci-dessus, puis balayez la hauteur dans le graphique pour voir rigidité et aire diverger.
