La flecha de un eje con carga centrada vale FL³/(48EI) y, como el momento de inercia depende de la cuarta potencia del diámetro, la flecha cae con d⁻⁴. Introduce el diámetro, la luz, la carga y el módulo del material para obtener la flecha, la tensión de flexión, el momento de inercia y el giro en los rodamientos, que es a lo que un rodamiento realmente se opone.
Pulsa Calcular para obtener la flecha máxima en el centro del vano, la tensión de flexión allí, el momento de inercia y el giro en los apoyos. La flecha suele limitarse a unos luz/3000, y el giro en los rodamientos a 0,001 radianes.
Solución paso a paso
Ayuda de dimensionamiento preliminar. Los resultados siguen las fórmulas publicadas que se citan más abajo y están pensados para estimaciones, estudio y diseño preliminar. El proyecto definitivo debe verificarlo un ingeniero cualificado conforme a la normativa vigente donde se ejecute la obra.
Beneficios principales
✓Da el giro en los apoyos, que preocupa a los rodamientos más que la flecha
✓Da la tensión de flexión junto a la flecha, de modo que ambas comprobaciones quedan a la vista
✓Deja explícita la dependencia de la cuarta potencia del diámetro
✓Avisa frente a los límites de luz/3000 y de 0,001 rad
✓El gráfico de sensibilidad muestra hasta qué punto domina el diámetro
✓Enlaces compartibles y exportación a CSV para el expediente de proyecto
¿Qué es la flecha de un eje?
Un eje que soporta una carga entre dos rodamientos se comporta como una viga. Para un vano biapoyado con carga puntual centrada, la flecha máxima vale FL³/(48EI) y se produce en el centro. E es el módulo de Young del material e I el momento de inercia, que para una sección circular maciza vale πd⁴/64. La tensión de flexión en ese mismo punto es el momento flector FL/4 dividido por el módulo resistente πd³/32.
Por qué la rigidez manda antes que la resistencia
Un eje puede estar perfectamente seguro en tensión y aun así resultar inservible. La flecha desalinea lo que el eje soporta: un par de engranajes cuyos ejes se descuelgan deja de engranar en todo el ancho de diente, así que la carga se concentra en un extremo y la presión de contacto sube muy por encima del valor de proyecto. La práctica corriente en maquinaria limita la flecha a unos luz/3000, y a luz/5000 en ejes que soportan engranajes: cifras mucho más estrictas que las que exigiría cualquier criterio de tensión.
El giro en los rodamientos
La flecha en el centro del vano es la cifra que se cita, pero lo que los rodamientos experimentan es el giro en los apoyos. La mayoría de los rodamientos y cojinetes toleran unos 0,001 radianes de desalineamiento antes de que la carga se concentre en un borde del camino de rodadura y la vida caiga bruscamente. Los rodamientos autoalineables existen precisamente porque este límite es fácil de superar en un eje largo o esbelto.
Fórmula
δ = F·L³ / (48·E·I)
Flecha máxima en el centro del vano de un eje biapoyado con carga puntual centrada
Fórmulas relacionadas
I = π·d⁴ / 64
σ = (F·L/4) / (π·d³/32)
θ = F·L² / (16·E·I)
Definición de variables
Símbolo
Variable
Unidad
Descripción
F
Carga centrada
N
Carga puntual aplicada en el centro del vano.
L
Luz
mm
Distancia entre centros de rodamiento. La flecha va con su cubo.
d
Diámetro del eje
mm
Diámetro del eje macizo. La flecha va inversamente con su cuarta potencia.
E
Módulo de Young
GPa
200 para acero, 70 para aluminio, 110 para titanio.
I
Momento de inercia
mm⁴
πd⁴/64 para una sección circular maciza.
θ
Giro en los apoyos
rad
Desalineamiento angular que ven los rodamientos, limitado normalmente a 0,001.
Cómo usar esta calculadora
Usa la luz entre centros de rodamientoNo la longitud total del eje. Los tramos en voladizo más allá de los rodamientos flectan según otra fórmula y suelen ser bastante peores, ya que un voladizo de la misma longitud flecta dieciséis veces más que un vano biapoyado.
Coloca la carga donde realmente actúaEste cálculo supone una carga puntual centrada, que da la flecha máxima para una carga total dada. Una carga descentrada flecta menos, así que la hipótesis centrada queda del lado de la seguridad; y para cargas repartidas el coeficiente pasa de 1/48 a 5/384.
Comprueba el giro, no solo la flechaEl giro en los apoyos es lo que los rodamientos experimentan como desalineamiento. Es perfectamente posible cumplir un límite de flecha y superar 0,001 radianes, sobre todo en un vano corto muy cargado.
Compara contra un límite de rigidez, no de tensiónLuz/3000 en maquinaria general, y luz/5000 cuando el eje soporta engranajes. Son límites mucho más estrictos que cualquier criterio de tensión, y por eso los ejes se dimensionan por rigidez.
Recuerda lo que este cálculo deja fueraLa torsión actuando a la vez, el peso propio del eje, la concentración de tensiones en chaveteros y resaltes, y la velocidad crítica son comprobaciones aparte. Un eje en rotación somete además a cada fibra a un ciclo completo de tracción y compresión en cada vuelta, así que quien gobierna la tensión es la fatiga y no el límite elástico.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un eje de acero de 30 mm con una luz de 600 mm entre rodamientos soporta una carga de 2.000 N en el centro. Módulo de Young 200 GPa.
Solución paso a paso
Momento de inercia: I = π × 30⁴/64 = π × 810.000/64 = 39.761 mm⁴
Momento flector en el centro: FL/4 = 2.000 × 600/4 = 300.000 N·mm
Módulo resistente: πd³/32 = 2.651 mm³, así que la tensión de flexión vale 300.000/2.651 = 113,2 MPa
Giro en los apoyos: FL²/(16EI) = 0,005659 rad, o 0,324°
Valoración: los 113 MPa de tensión son modestos para el acero, pero luz/530 es casi seis veces el límite de luz/3000, y el giro en los apoyos alcanza 5,7 veces los 0,001 rad que toleran los rodamientos. Este eje falla en rigidez mientras pasa holgadamente en resistencia.
Ejemplo 2
La misma luz y la misma carga con el diámetro aumentado a 50 mm: la solución que la relación de cuarta potencia hace tan eficaz.
Solución paso a paso
Momento de inercia: I = π × 50⁴/64 = 306.796 mm⁴, frente a 39.761 mm⁴ con 30 mm
Eso es un factor de 7,72, que es exactamente (50/30)⁴
Flecha: 0,1467 mm, frente a 1,132 mm: menor en ese mismo 7,72
Luz/flecha: 600/0,1467 = 4.091, holgadamente por encima del límite de luz/3000
Giro en los apoyos: 0,000733 rad, ahora por debajo del límite de 0,001 rad de los rodamientos
Tensión de flexión: 24,4 MPa, frente a 113,2 MPa: un factor de solo 4,63, porque la tensión va con d³ y no con d⁴
Esa diferencia entre los dos exponentes es la clave. Aumentar el diámetro un 67 % mejoró la tensión en un factor de 4,6 y la rigidez en 7,7, así que un eje que fallaba en rigidez y pasaba en tensión ahora pasa ambas con margen.
También explica por qué los ejes huecos son tan eficaces. Quitar material del centro, donde la tensión de flexión es casi nula, cuesta muy poco momento de inercia y ahorra una masa considerable, algo que importa en cuanto entran en juego el peso propio del eje y su velocidad crítica.
Sensibilidad al diámetro
La flecha se desploma al crecer el diámetro, porque va inversamente con la cuarta potencia. La tensión de flexión solo baja con el cubo, así que las dos curvas se separan, y por eso un eje puede pasar en tensión y fallar en rigidez. El marcador señala tu diámetro actual.
Flecha máximafrente aDiámetro del eje
Se recalcula en vivo con tus datos. El marcador señala tu valor actual.
Gráfico de líneas de Flecha máxima frente a Diámetro del eje. Los mismos valores aparecen en la tabla de datos de abajo.
Valores representados arriba, muestreados en el rango de diámetro del eje.
Cómo interpretar el resultado
La flecha respecto a la luz es el criterio de aceptación habitual, pero es el giro en los apoyos el que determina si los rodamientos sobrevivirán. Ambos son límites de rigidez, y ambos son mucho más estrictos que la comprobación de tensión.
Flecha máxima: < 0.05Muy rígido
Una flecha de your result mm es lo bastante pequeña como para cumplir cualquier criterio normal. Comprueba si el eje no es más pesado de lo necesario: una sección hueca quita material del centro, donde menos contribuye a la rigidez.
Flecha máxima: 0.05 – 0.3Dentro de los límites habituales
Una flecha de your result mm probablemente cumple el límite general de luz/3000. Confírmalo contra la luz real y comprueba el giro en los apoyos por separado: los dos límites no siempre coinciden.
Flecha máxima: 0.3 – 1Hay que compararla con la luz
Una flecha de your result mm hay que compararla con la luz. Puede ser aceptable en un eje largo y excesiva en uno corto, y si el eje soporta engranajes se aplica el límite más estricto de luz/5000.
Flecha máxima: ≥ 1Excesiva para la mayoría de las máquinas
Una flecha de your result mm supera los límites normales salvo que la luz sea muy larga. Aumentar el diámetro es aquí especialmente eficaz, porque la flecha va inversamente con la cuarta potencia: un eje un 19 % mayor la reduce a la mitad.
Giro en los apoyos: ≥ 0.001Límite de desalineamiento de rodamientos superado
Un giro en los apoyos de your result rad supera los 0,001 rad que tolera la mayoría de los rodamientos. El desalineamiento angular carga un borde del camino de rodadura y acorta bruscamente la vida del rodamiento. O se rigidiza el eje, o se especifican rodamientos autoalineables, que existen justo para esta situación.
Tensión de flexión: ≥ 100Tensión de flexión apreciable
Una tensión de flexión de your result MPa importa más en un eje en rotación de lo que la cifra sugiere, porque cada fibra recorre un ciclo completo de tracción y compresión en cada vuelta. Manda la fatiga, y el límite de fatiga está bastante por debajo del elástico, antes incluso de contar cualquier concentración de tensiones en chaveteros o resaltes.
Errores comunes que evitar
Dimensionar el eje solo por tensión
Por qué importa:Un eje puede pasar cómodamente una comprobación de tensión y seguir siendo demasiado flexible. El ejemplo resuelto soporta solo 113 MPa —modestos para el acero— mientras flecta hasta luz/530, casi seis veces el límite general.
✓Cómo evitarlo:Comprueba también la flecha y el giro en los apoyos. En la mayoría de los ejes de máquina manda la rigidez, y la comprobación de tensión se satisface sola una vez que aquella se cumple.
Comprobar la flecha pero no el giro en los rodamientos
Por qué importa:Son magnitudes distintas con límites distintos, y un vano corto muy cargado puede cumplir un criterio de flecha superando ampliamente los 0,001 rad que toleran los rodamientos. Falla el rodamiento, no el eje.
✓Cómo evitarlo:Calcula ambos. Donde el giro no pueda reducirse, los rodamientos autoalineables de bolas o de rodillos a rótula lo absorben por diseño.
Usar la longitud total del eje en lugar de la luz entre rodamientos
Por qué importa:La fórmula se aplica entre apoyos. Los tramos más allá de un rodamiento se comportan como voladizos, y un voladizo de una longitud dada flecta dieciséis veces más que un vano biapoyado de la misma longitud.
✓Cómo evitarlo:Usa la distancia entre centros de rodamiento para este cálculo y trata los voladizos aparte. Las cargas en voladizo suelen ser el caso más crítico.
Ignorar la torsión simultánea
Por qué importa:Un eje que transmite potencia soporta cortante de torsión al mismo tiempo que flexión. Lo que importa es el estado tensional combinado, y un eje satisfactorio solo a flexión puede dejar de serlo al superponer la torsión.
✓Cómo evitarlo:Combina flexión y torsión con un criterio de rotura adecuado, y recuerda que un eje en rotación bajo flexión constante sufre una solicitación alternada simétrica.
Pasar por alto la concentración de tensiones
Por qué importa:Chaveteros, resaltes, gargantas de anillo elástico y taladros transversales elevan todos la tensión local muy por encima del valor nominal: un resalte vivo puede más que duplicarla. Los fallos por fatiga arrancan de estos detalles casi sin excepción.
✓Cómo evitarlo:Aplica factores de concentración de tensiones en cada cambio de sección y usa radios de acuerdo generosos. La tensión nominal que da esta calculadora es un punto de partida, no el pico.
No comprobar la velocidad crítica
Por qué importa:Todo eje tiene una frecuencia natural a la que la flecha crece sin límite. Girar a esa velocidad o cerca de ella es destructivo por muy bien que salga el cálculo estático, y un eje flexible tiene por definición una velocidad crítica baja.
✓Cómo evitarlo:Calcula la primera velocidad crítica y mantén la de servicio bien alejada. La misma rigidez que limita la flecha estática eleva también la velocidad crítica, así que ambos objetivos van en el mismo sentido.
Aplicaciones prácticas
▸Dimensionar ejes de máquina por rigidez en lugar de por resistencia
▸Comprobar el desalineamiento de rodamientos en un eje existente
▸Evaluar la alineación de un engrane bajo carga
▸Comparar diámetros de eje durante el diseño
▸Valorar el efecto de aumentar la luz entre rodamientos
▸Filtrar un diseño antes de un análisis completo con cargas combinadas
Casos de uso por sector
Diseño de reductores
La flecha del eje se limita mucho más estrictamente donde se soportan engranajes, habitualmente a luz/5000, porque un eje que se descuelga concentra la carga de diente en un extremo del ancho. La presión de contacto resultante puede superar bastante el valor de proyecto aunque la carga media por diente no haya cambiado.
Bombas y máquinas rotativas
La rigidez del eje gobierna la vida de los cierres tanto como la de los rodamientos, porque la flecha en la cara del cierre provoca desgaste desigual y fugas. Los diseños de rodete en voladizo son especialmente sensibles, ya que domina la flecha del voladizo.
Máquinas herramienta
La rigidez del husillo fija directamente la precisión alcanzable: cualquier flecha bajo la fuerza de corte se convierte en un error dimensional en la pieza. Los husillos se dimensionan por eso muy por encima de lo que exige la resistencia, y las luces cortas entre rodamientos con diámetros grandes son la norma.
Consejos prácticos
💡La flecha va con d⁻⁴, así que un diámetro un 19 % mayor la reduce a la mitad.
💡La flecha va con L³, así que una luz un 26 % mayor la duplica.
💡La tensión solo va con d⁻³, y por eso la rigidez manda antes que la resistencia.
💡El giro en los apoyos se limita a unos 0,001 rad; la flecha, a unos luz/3000.
💡Un voladizo flecta dieciséis veces más que un vano biapoyado.
💡Los ejes huecos pierden poca rigidez y ahorran una masa considerable.
Ventajas y limitaciones
Ventajas
✓Da el giro en los apoyos, que es la comprobación que más se omite
✓Da flecha y tensión juntas, de modo que se ve cuál es el criterio que gobierna
✓Deja explícita la diferencia entre los exponentes d⁴ y d³
✓Avisa frente a ambos límites de rigidez y no solo frente al de tensión
✓Es lo bastante sencilla para verificarla a mano en una revisión de diseño
Limitaciones
!Supone un eje biapoyado con una única carga puntual centrada
!No cubre tramos en voladizo, que flectan mucho más
!Ignora el peso propio del eje, significativo en ejes largos o de gran diámetro
!No tiene en cuenta la torsión actuando simultáneamente
!Da tensión nominal sin factores de concentración en chaveteros ni resaltes
!No calcula la velocidad crítica, a la que un eje flexible es vulnerable
!Supone una sección circular maciza y uniforme en toda la luz
Cómo gobierna el diámetro la rigidez
Una luz de 600 mm soportando 2.000 N en el centro, en acero. Compara cuánto más deprisa cae la flecha que la tensión: esa brecha es la razón de que los ejes se dimensionen por rigidez.
Luz de 600 mm, carga centrada de 2.000 N, acero de 200 GPa. De 20 a 50 mm el diámetro se multiplica por 2,5, la flecha se divide por 39,1 (2,5⁴ = 39,1) y la tensión solo por 15,6 (2,5³ = 15,6). Solo el eje de 50 mm cumple a la vez luz/3000 y el límite de giro de 0,001 rad.
Para un eje biapoyado con carga centrada, δ = FL³/(48EI) con I = πd⁴/64. Un eje de acero de 30 mm sobre 600 mm que soporta 2.000 N flecta 1,132 mm, es decir, luz/530, bastante más allá del límite habitual.
¿Cuánto afecta el diámetro del eje a la flecha?
Enormemente: la flecha va inversamente con la cuarta potencia del diámetro. Un aumento del 19 % la reduce a la mitad, y pasar de 20 mm a 50 mm la reduce en un factor de 39. Es con diferencia la palanca más eficaz de que dispone el proyectista.
¿Qué flecha de eje es aceptable?
Unos luz/3000 en maquinaria general, y luz/5000 cuando el eje soporta engranajes. Estos límites de rigidez son mucho más estrictos que cualquier criterio de tensión, y por eso los ejes se dimensionan por rigidez. Salen de la tolerancia del órgano soportado, no de la del acero.
¿Cuál es el límite de giro en un rodamiento?
Unos 0,001 radianes en la mayoría de los rodamientos y cojinetes. Por encima, la carga se concentra en un borde del camino de rodadura y la vida cae bruscamente. Los tipos autoalineables existen precisamente para admitir más. Compruébalo antes de aceptar una implantación impuesta por el espacio disponible.
¿Por qué es la rigidez más crítica que la resistencia en un eje?
Porque la flecha desalinea lo que el eje soporta. Un engrane, una cara de cierre o un rodamiento fallarán por desalineamiento mucho antes de que el acero plastifique: el ejemplo resuelto soporta solo 113 MPa mientras flecta casi seis veces por encima del límite general.
¿Cómo afecta la luz a la flecha?
Con su cubo. Una luz un 26 % mayor duplica la flecha, así que separar los rodamientos perjudica a la rigidez mucho más de lo que parece. Acortar la luz suele ser más fácil que engrosar el eje. Compruébalo antes de separar los apoyos para ganar sitio.
¿Por qué escalan de forma distinta la tensión y la flecha?
La tensión depende del módulo resistente, que va con d³, mientras que la flecha depende del momento de inercia, que va con d⁴. Aumentar el diámetro mejora por tanto la rigidez más deprisa que la resistencia. Esa diferencia de exponente es la que hace divergir los dos criterios.
¿Son los ejes huecos más rígidos para su peso?
Sí. El material próximo al centro soporta muy poca tensión de flexión y aporta poco al momento de inercia, así que retirarlo cuesta una pequeña fracción de la rigidez y ahorra una masa considerable, lo que además eleva la velocidad crítica.
¿Qué es la velocidad crítica?
Es la velocidad de giro que coincide con la frecuencia natural del eje, a la cual la flecha crece sin límite. Un eje flexible tiene por definición una velocidad crítica baja, así que la rigidez que limita la flecha estática mantiene también alta la velocidad crítica.
¿Incluye este cálculo la torsión?
No. Un eje que transmite potencia soporta cortante de torsión a la vez que flexión, y gobierna el estado tensional combinado. Esto da solo la flexión, que es el punto de partida y no la comprobación completa. Combina ambos con un criterio de rotura adecuado antes de fijar el diámetro.
Glosario
Momento de inercia
Propiedad de sección que mide la resistencia a flexión; πd⁴/64 en un círculo macizo.
Módulo resistente
Momento de inercia dividido por la distancia a la fibra extrema; πd³/32 en un círculo macizo.
Módulo de Young
Rigidez de un material a tracción y flexión; 200 GPa en el acero.
Biapoyado
Viga que descansa sobre apoyos que permiten el giro pero no el desplazamiento vertical.
Giro en los apoyos
Ángulo que adopta el eje en sus rodamientos, y que estos perciben como desalineamiento.
Velocidad crítica
Velocidad de giro a la que la rotación excita la frecuencia natural del eje.
Concentración de tensiones
Elevación local de la tensión en un chavetero, un resalte o un taladro.
Solicitación alternada simétrica
Ciclo de tracción y compresión que sufre cada fibra de un eje en rotación en cada vuelta.
Límite de fatiga
Tensión por debajo de la cual el acero resiste indefinidamente bajo carga cíclica, bastante por debajo del límite elástico.
Rodamiento autoalineable
Tipo de rodamiento diseñado para admitir desalineamiento angular entre eje y alojamiento.
Referencias científicas y normativas
Shigley, J. E. y Mischke, C. R., Mechanical Engineering Design, capítulo sobre ejes y sus componentes — McGraw-Hill
Roark's Formulas for Stress and Strain, 8.ª edición: Beams — Deflection and Slope — McGraw-Hill
ISO 281: Rodamientos — Capacidades de carga dinámica y vida nominal (efectos del desalineamiento) — Organización Internacional de Normalización
AGMA 6001: Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives — American Gear Manufacturers Association
La flecha de un eje la gobiernan dos exponentes que tiran en sentidos opuestos para el proyectista. La luz entra al cubo, así que separar los rodamientos perjudica más de lo que parece: una luz un 26 % mayor duplica la flecha. El diámetro entra inversamente a la cuarta, así que engrosar el eje es proporcionalmente eficaz: un aumento del 19 % la reduce a la mitad. Lo más importante es que la tensión solo escala con el cubo del diámetro, de modo que ambos criterios se separan. La tabla de arriba muestra un eje de 30 mm soportando unos modestos 113 MPa mientras flecta hasta luz/530: cómodamente seguro en resistencia y casi seis veces por encima del límite de rigidez. Esa es la situación normal en ejes de máquina, y es la razón de que se dimensionen por rigidez. La comprobación que más se olvida es el giro en los apoyos: los rodamientos toleran unos 0,001 radianes, y es perfectamente posible cumplir un límite de flecha superándolo.
Introduce arriba el diámetro, la luz y la carga de tu eje para comprobar los dos límites de rigidez.
