Un eje circular sometido a par desarrolla una tensión cortante τ = Tr/J, máxima en la superficie exterior, y gira un ángulo θ = TL/(JG). Introduce el par, el diámetro, la longitud y el módulo de cortante para obtener ambos. Como el momento polar de inercia va con la cuarta potencia del diámetro, un pequeño aumento del eje tiene un efecto grande sobre tensión y giro.
Calculadora
Unidades:
N·m
Momento torsor respecto al eje de la pieza
mm
Diámetro exterior; la tensión cae con su cubo y el giro con su cuarta potencia
m
Longitud a lo largo de la cual se acumula el giro
GPa
Acero ≈ 79, aluminio ≈ 26, titanio ≈ 44 GPa
Resultado del cálculo
Pulsa Calcular para obtener la tensión cortante máxima en la superficie exterior y el ángulo de giro total en la longitud del eje. Compara la tensión con el cortante admisible de tu material, y el giro con el requisito de rigidez de la aplicación.
Solución paso a paso
Ayuda de dimensionamiento preliminar. Los resultados siguen las fórmulas publicadas que se citan más abajo y están pensados para estimaciones, estudio y diseño preliminar. El proyecto definitivo debe verificarlo un ingeniero cualificado conforme a la normativa vigente donde se ejecute la obra.
Beneficios principales
✓Devuelve en una sola pasada la comprobación de resistencia y la de rigidez
✓Hace visible de inmediato el efecto de cuarta potencia del diámetro
✓Da el giro en grados, la forma en que suelen escribirse las especificaciones
✓Incluye la comparación con el eje hueco, que muestra dónde el material se gana su sitio
✓El gráfico de sensibilidad muestra con qué fuerza caen tensión y giro al crecer el diámetro
✓Enlaces compartibles y exportación a CSV para el archivo de proyecto
¿Qué es la torsión?
Cuando se retuerce un eje circular, cada sección gira respecto a la contigua manteniéndose plana y circular. La deformación angular crece linealmente desde cero en el eje hasta un máximo en la superficie exterior, y con material elástico lineal la tensión cortante sigue el mismo reparto: τ = Tr/J, donde r es el radio del punto considerado y J el momento polar de inercia. En un eje circular macizo, J = πD⁴/32.
Por qué domina tanto el diámetro
El momento polar de inercia va con la cuarta potencia del diámetro, mientras que el radio del numerador va con la primera, así que la tensión máxima cae con el cubo del diámetro y el giro con la cuarta potencia. Pasar un eje de 50 mm a 60 mm reduce la tensión de pico de 20,37 a 11,79 MPa, una caída del 42 %, y el giro de 1,18 a 0,57 grados, una caída del 52 %. Todo ello con un 44 % más de material en peso.
Por qué solo las secciones circulares se comportan así de simple
La hipótesis de que las secciones planas permanecen planas se cumple exactamente en un eje circular y en ninguna otra forma. Una barra rectangular sometida a par alabea fuera de su plano, su tensión cortante es máxima en el centro del lado largo y no en las esquinas, y su módulo de torsión se obtiene de coeficientes empíricos en lugar de una fórmula cerrada. Las secciones abiertas como los perfiles en I y en U son muchísimo más débiles a torsión que las cerradas de igual área, y por eso los elementos solicitados a torsión se hacen con tubos.
Fórmula
τ_max = T·r / J
Tensión cortante máxima por torsión en la superficie exterior de un eje circular
Fórmulas relacionadas
J = πD⁴ / 32
θ = T·L / (J·G)
J = π(D⁴ − d⁴) / 32
P = T·ω
Definición de variables
Símbolo
Variable
Unidad
Descripción
τ_max
Tensión cortante máxima
MPa
Tensión cortante de pico, situada en la superficie exterior, donde el radio es mayor.
T
Par aplicado
N·m
Momento torsor aplicado respecto al eje de la pieza.
r
Radio exterior
mm
Distancia del eje a la superficie exterior, la mitad del diámetro.
J
Momento polar de inercia
mm⁴
Equivalente torsional del momento de segundo orden del área; πD⁴/32 en un círculo macizo.
θ
Ángulo de giro
grados
Rotación relativa total entre los dos extremos del eje.
L
Longitud del eje
m
Longitud a lo largo de la cual se acumula el giro. El giro es directamente proporcional a ella.
G
Módulo de cortante
GPa
Rigidez del material a cortante. El acero ronda 79 GPa y el aluminio 26 GPa.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el par en newton-metrosEn un eje en rotación, el par se deduce de la potencia y la velocidad como T = P/ω, con ω en radianes por segundo. Un motor de 10 kW a 1.450 rpm entrega unos 65,9 N·m.
Usa el diámetro exteriorLa tensión de pico se da en la superficie exterior, así que el diámetro exterior fija tanto J como el radio del numerador. Esta calculadora cubre ejes macizos; para uno hueco, emplea a mano J = π(D⁴ − d⁴)/32.
Introduce la longitud en la que se acumula el giroEmplea la distancia entre el punto donde se aplica el par y aquel donde se reacciona. El giro es directamente proporcional a esa longitud, así que un eje largo gira proporcionalmente más con la misma tensión.
Introduce el módulo de cortante, no el de YoungLa torsión depende de la rigidez a cortante G, en torno a 0,385 veces E en la mayoría de los metales. El acero ronda 79 GPa frente a 200 GPa a tracción. Sustituir por E subestimaría el giro en un factor de aproximadamente 2,5.
Contrasta cada resultado con su propio límiteCompara la tensión con el cortante admisible, habitualmente de 0,4 a 0,6 del límite elástico a tracción en cálculo estático. Compara el giro con el requisito de la aplicación, que en ejes de transmisión suele darse en grados por metro.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Un eje macizo de acero de 50 mm de diámetro y 2,0 m de longitud transmite un par de 500 N·m. El módulo de cortante es 79 GPa. Hallemos la tensión cortante máxima y el ángulo de giro.
Solución paso a paso
Momento polar de inercia: J = πD⁴/32 = π × 50⁴ / 32 = π × 6.250.000 / 32
J = 613.592 mm⁴
Radio exterior: r = D/2 = 25 mm
Convertimos el par a unidades coherentes: T = 500 N·m = 500.000 N·mm
Convertimos para el giro: L = 2,0 m = 2.000 mm; G = 79 GPa = 79.000 MPa
Ángulo de giro: θ = TL/(JG) = 500.000 × 2.000 / (613.592 × 79.000) = 0,02063 rad
En grados: 0,02063 × 180/π = 1,18°, o 0,59 grados por metro
Valoración: 20,37 MPa queda muy por debajo del cortante admisible del acero estructural, así que a este eje lo gobierna la rigidez y no la resistencia si la aplicación tiene un límite de giro.
Ejemplo 2
El mismo par, longitud y material, pero con el diámetro aumentado de 50 mm a 60 mm, un cambio del 20 %. Esto muestra el efecto de cuarta potencia en acción.
Solución paso a paso
Momento polar de inercia: J = π × 60⁴ / 32 = π × 12.960.000 / 32 = 1.272.345 mm⁴
Eso es 2,07 veces el valor del eje de 50 mm, a partir de un aumento del 20 % en diámetro
Ángulo de giro: θ = 500.000 × 2.000 / (1.272.345 × 79.000) = 0,00995 rad = 0,57°
Comparación: la tensión cayó un 42 % y el giro un 52 %, con un aumento de masa de solo el 44 %
La escala lo explica: la tensión va como 1/D³, así que (50/60)³ = 0,579; el giro va como 1/D⁴, así que (50/60)⁴ = 0,482. Ambas coinciden con las reducciones calculadas.
Conclusión de proyecto: cuando un eje no cumple a torsión, aumentar el diámetro es muchísimo más eficaz que cambiar de material, ya que ninguna aleación de ingeniería habitual ofrece un módulo de cortante un 42 % mayor.
Sensibilidad al diámetro
La tensión cortante cae con el cubo del diámetro y el giro con la cuarta potencia, así que ambas curvas bajan con fuerza y se aplanan luego en una cola larga. Cambia entre ellas para comparar los dos ritmos. El marcador señala tu diámetro actual.
Tensión cortante máximafrente aDiámetro (D)
Se recalcula en vivo con tus datos. El marcador señala tu valor actual.
Gráfico de líneas de Tensión cortante máxima frente a Diámetro (D). Los mismos valores aparecen en la tabla de datos de abajo.
Valores representados arriba, muestreados en el rango de diámetro (d).
Cómo interpretar el resultado
El cálculo a torsión tiene dos comprobaciones independientes, gobernadas por cosas distintas. La tensión debe quedar por debajo del cortante admisible del material; el giro debe mantenerse dentro de lo que tolere la aplicación, que en maquinaria de precisión puede ser mucho más estricto que cualquier límite de resistencia.
Una tensión cortante máxima de < 40 MPa queda holgadamente por debajo del cortante admisible de los aceros estructurales y de maquinaria, que suele ir de 80 a 150 MPa. Aquí la resistencia no es la restricción: comprueba el ángulo de giro, que es más probable que mande.
Una tensión cortante máxima de 40 – 100 MPa se sitúa en el rango normal de trabajo de los ejes de acero. Contrástala con el cortante admisible de tu grado concreto y, cuando el eje gire bajo carga alternada, comprueba el límite de fatiga en lugar del estático.
Tensión cortante máxima: 100 – 200Tensión cortante alta
Una tensión cortante máxima de 100 – 200 MPa se acerca al límite admisible de muchos aceros. Verifícala frente al límite elástico a cortante de tu material y presta mucha atención a las concentraciones de tensión en chaveteros, estriados y acuerdos de escalón, que pueden duplicar la tensión local.
Tensión cortante máxima: ≥ 200Tensión cortante muy alta
Una tensión cortante máxima de ≥ 200 MPa supera el cortante admisible de la mayoría de los aceros de ingeniería. Aumenta el diámetro —la tensión cae con su cubo, así que incluso un incremento modesto ayuda bastante— o reduce el par.
Ángulo de giro: ≥ 3Ángulo de giro grande
Un giro de ≥ 3 grados es considerable. Los ejes de transmisión se limitan habitualmente a unos 0,25 grados por metro, y los accionamientos de precisión a bastante menos. El giro cae con la cuarta potencia del diámetro, así que un pequeño aumento del eje es el remedio eficiente.
Errores comunes que evitar
Usar el módulo de Young en lugar del de cortante
Por qué importa:La torsión depende de la rigidez a cortante G, no de la rigidez a tracción E. En acero, G ronda 79 GPa frente a 200 GPa, así que sustituir por E subestima el ángulo de giro en un factor de aproximadamente 2,5.
✓Cómo evitarlo:Emplea G, aproximadamente E/2(1+ν), que resulta en torno a 0,385E en la mayoría de los metales. Acero 79 GPa, aluminio 26 GPa, titanio 44 GPa.
Aplicar la teoría del eje circular a una sección no circular
Por qué importa:La hipótesis de que las secciones planas permanecen planas solo vale en círculos. Una barra rectangular alabea bajo par, su tensión es máxima en el centro del lado largo y no en las esquinas, y su módulo de torsión es mucho menor de lo que sugeriría el momento polar de inercia.
✓Cómo evitarlo:Emplea el módulo de torsión J adecuado a la forma, tomado de una tabla de referencia. En secciones abiertas como perfiles en I y en U, la rigidez torsional es una pequeña fracción de la de una sección cerrada de igual área.
Ignorar las concentraciones de tensión en chaveteros y acuerdos
Por qué importa:Un chavetero, un estriado o un acuerdo de escalón eleva la tensión local bastante por encima del valor nominal: un factor de 2 a 3 es habitual en un chavetero de aristas vivas. Los fallos de eje empiezan casi siempre en estos detalles.
✓Cómo evitarlo:Aplica el factor de concentración de tensiones que corresponda, de una referencia como el Peterson, y especifica radios de acuerdo generosos. Un radio mayor es la mejora de resistencia más barata disponible.
Calcular un eje en rotación solo a resistencia estática
Por qué importa:Un eje en rotación con carga de flexión experimenta tensión completamente alternada en cada vuelta, así que gobierna la fatiga y no la plastificación estática. El límite de fatiga puede quedar por debajo de la mitad del admisible estático, y aún más con una entalla superficial.
✓Cómo evitarlo:Emplea un método de cálculo a fatiga —el criterio de Soderberg o de Goodman con los factores de acabado, tamaño y concentración de tensiones— en cualquier eje que gire bajo carga.
Comprobar la tensión pero no el giro
Por qué importa:Un eje puede ser perfectamente seguro en resistencia y aun así resultar inservible. Un giro excesivo provoca errores de sincronismo en cadenas cinemáticas, errores de posición en maquinaria y vibración torsional en ejes largos.
✓Cómo evitarlo:Comprueba ambos. Los ejes de transmisión se limitan habitualmente a unos 0,25 grados por metro, y los accionamientos de posicionamiento de precisión a bastante menos.
Pasar por alto la combinación de flexión y torsión
Por qué importa:La mayoría de los ejes reales soportan flexión de engranajes, poleas o tensión de correa a la vez que el par. Comprobar solo una de las dos subestima notablemente el estado tensional combinado.
✓Cómo evitarlo:Emplea un enfoque de tensión equivalente —el criterio de tensión cortante máxima o el de von Mises— combinando las componentes de flexión y torsión antes de compararlas con el admisible.
Aplicaciones prácticas
▸Dimensionar ejes de transmisión de motores, reductores y bombas
▸Comprobar la rigidez torsional de husillos de máquina herramienta
▸Verificar la capacidad de tubos de par en vehículos y aeronaves
▸Evaluar elementos estructurales sometidos a carga excéntrica
▸Proyectar barras de torsión y barras estabilizadoras
▸Comprobar el giro en ejes largos de transmisión y de hélice
Casos de uso por sector
Transmisión mecánica de potencia
Los ejes de transmisión se dimensionan a partir del par del motor y se comprueban después frente a un límite de giro, habitualmente 0,25 grados por metro. Como el giro cae con la cuarta potencia del diámetro, el requisito de rigidez suele fijar el tamaño del eje mucho antes que el límite de tensión.
Ingeniería del automóvil
Las barras de torsión y las estabilizadoras se proyectan para girar una cantidad controlada en lugar de resistirse a ello, así que las mismas fórmulas se recorren al revés: la rigidez objetivo fija el diámetro y la tensión resultante se comprueba después frente al límite de fatiga.
Estructura metálica
Las vigas cargadas de forma excéntrica desarrollan torsión, y las secciones abiertas la resisten muy mal. Los ingenieros suelen evitar calcular a torsión: coaccionan el elemento o emplean una sección hueca cerrada, ya que un tubo puede ser cien veces más rígido a torsión que un perfil en I de igual área.
Consejos prácticos
💡El diámetro es con enorme diferencia la variable más eficaz: la tensión cae con su cubo y el giro con su cuarta potencia.
💡Un eje hueco pierde poca capacidad a torsión a cambio de un gran ahorro de peso, porque el material próximo al eje apenas soporta tensión.
💡Usa G, no E: en torno a 0,385E en metales comunes, y unos 79 GPa en acero.
💡Comprueba el giro por metro y no el giro total; es la forma en que normalmente se escriben las especificaciones.
💡Unos radios de acuerdo generosos en los escalones son la mejora más barata disponible en vida a fatiga.
💡En cualquier elemento estructural que vaya a soportar torsión, emplea una sección hueca cerrada: las abiertas son muchísimo más débiles.
Ventajas y limitaciones
Ventajas
✓Solución exacta y cerrada para un eje circular, el caso al que se aplica
✓Entrega la comprobación de resistencia y la de rigidez con los mismos cuatro datos
✓Da el giro en grados, tal como se redactan las especificaciones
✓Se extiende directamente a ejes huecos sustituyendo el J correspondiente
✓Lo bastante sencilla para verificarla a mano en una revisión de proyecto
Limitaciones
!Válida solo para secciones circulares macizas; otras formas necesitan su propio módulo de torsión
!Supone comportamiento elástico lineal, sin plastificación
!No tiene en cuenta las concentraciones de tensión en chaveteros, estriados, taladros y acuerdos
!Ignora la fatiga, que gobierna cualquier eje que gire bajo carga
!No combina la torsión con flexión ni esfuerzo axil, que los ejes reales suelen soportar a la vez
!Supone un eje prismático de diámetro constante en toda su longitud
!Omite la vibración torsional y la velocidad crítica, que importan en ejes largos o de giro rápido
Ejes macizos frente a huecos de igual diámetro exterior
El material próximo al eje apenas soporta tensión de torsión, así que retirarlo cuesta mucha menos capacidad que peso. Este es el argumento a favor de los ejes huecos en cualquier aplicación sensible al peso.
Momento polar de inercia de un eje de 50 mm de diámetro exterior con distintos taladros. La capacidad es proporcional a J; la masa, al área de la sección.
Emplea τ = Tr/J, donde T es el par aplicado, r el radio exterior y J el momento polar de inercia, igual a πD⁴/32 en un eje circular macizo. Un par de 500 N·m en un eje de 50 mm da 20,37 MPa en la superficie exterior de la pieza.
¿Qué es el momento polar de inercia?
El equivalente torsional del momento de segundo orden del área, que describe cómo resiste una sección al giro. En un círculo macizo vale πD⁴/32 y en uno hueco π(D⁴ − d⁴)/32. Su dependencia de cuarta potencia con el diámetro es la razón de que el tamaño del eje importe tanto.
¿Cómo se calcula el ángulo de giro?
θ = TL/(JG) da el giro en radianes, que multiplicado por 180/π pasa a grados. Ten en cuenta que G es el módulo de cortante, en torno a 79 GPa en acero: usar el módulo de Young en su lugar subestimaría el giro en un factor de 2,5.
¿Dónde es mayor la tensión de torsión en un eje?
En la superficie exterior, donde el radio es máximo. La tensión varía linealmente desde cero en el eje hasta el máximo en la superficie, y por eso justamente los ejes huecos son eficientes: el material retirado del centro apenas trabajaba. Es también la razón de que los fallos por torsión arranquen siempre en la piel de la pieza.
¿Por qué es tan eficaz el diámetro en torsión?
Porque J crece con la cuarta potencia del diámetro mientras que el radio del numerador crece con la primera. El efecto neto es que la tensión cae con el cubo del diámetro y el giro con la cuarta potencia. Pasar de 50 a 60 mm recorta la tensión un 42 % y el giro un 52 %.
¿Cuánta capacidad pierde un eje hueco?
Mucha menos que el peso que ahorra. Un eje de 50 mm taladrado a 30 mm conserva el 87 % de su capacidad a torsión desprendiéndose del 36 % de su masa. El material próximo al eje apenas soporta tensión, así que retirarlo cuesta poco.
¿Qué ángulo de giro es aceptable?
Depende de la aplicación. Los ejes de transmisión de potencia se limitan habitualmente a unos 0,25 grados por metro; los accionamientos de posicionamiento de precisión exigen bastante menos; y las barras de torsión se proyectan para girar muchos grados de forma deliberada.
¿Puedo usar estas fórmulas en una barra rectangular?
No. Las secciones no circulares alabean fuera de su plano bajo par, así que la teoría sencilla deja de valer. Las barras rectangulares usan coeficientes empíricos, su tensión de pico está en el centro del lado largo y su módulo de torsión es mucho menor de lo que sugeriría el momento polar.
¿Cuánto vale el módulo de cortante del acero?
En torno a 79 GPa (11.500 ksi) en aceros estructurales y de maquinaria. Se relaciona con el módulo de Young como G = E/2(1+ν), que con un coeficiente de Poisson de 0,3 da aproximadamente 0,385E. El aluminio ronda 26 GPa y el titanio 44 GPa.
¿Hay que comprobar la fatiga en un eje?
En cualquier eje que gire bajo carga, sí. La rotación invierte la tensión de flexión en cada vuelta, así que gobierna la fatiga y no la plastificación estática. El límite de fatiga puede quedar por debajo de la mitad del admisible estático, y menos aún con un chavetero o un acuerdo de aristas vivas.
Glosario
Torsión
El giro de un elemento respecto a su eje longitudinal bajo un momento aplicado.
Par (T)
El momento torsor aplicado respecto al eje de una pieza.
Momento polar de inercia (J)
La característica de sección que describe la resistencia al giro, igual a πD⁴/32 en un círculo macizo.
Módulo de cortante (G)
La relación entre tensión cortante y deformación angular en régimen elástico, en torno a 79 GPa en acero.
Ángulo de giro
La rotación relativa entre dos secciones de un eje, que suele darse en grados o en grados por metro.
Rigidez torsional
El producto JG, el análogo torsional de la rigidez a flexión EI.
Alabeo
La distorsión fuera de plano de una sección no circular sometida a par, que las secciones circulares no presentan.
Concentración de tensiones
Un aumento local de la tensión en una discontinuidad geométrica como un chavetero, un taladro o un acuerdo.
Sección cerrada
Una sección hueca de perímetro continuo, muchísimo más rígida a torsión que una abierta de igual área.
Referencias científicas y normativas
Gere, J. M. y Goodno, B. J., Mechanics of Materials, 9.ª edición — capítulo 3: Torsion — Cengage Learning
Roark's Formulas for Stress and Strain, 9.ª edición — capítulo 10: Torsion — McGraw-Hill
Pilkey, W. D. y Pilkey, D. F., Peterson's Stress Concentration Factors, 3.ª edición — Wiley
AISC Design Guide 9: Torsional Analysis of Structural Steel Members — American Institute of Steel Construction
Conclusión
La tensión cortante por torsión en un eje circular es Tr/J y el ángulo de giro es TL/(JG), con el momento polar de inercia πD⁴/32 haciendo casi todo el trabajo. Esa cuarta potencia es el titular práctico: la tensión cae con el cubo del diámetro y el giro con su cuarta potencia, así que pasar un eje de 50 a 60 mm recorta la tensión un 42 % y el giro un 52 %, una mejora que ningún cambio de material puede igualar. Dos cautelas valen para cualquier aplicación. La teoría es exacta solo en secciones circulares, porque solo ellas no alabean; y un eje en rotación es un problema de fatiga, gobernado por las concentraciones de tensión en chaveteros y acuerdos más que por la tensión nominal que devuelve este cálculo.
Introduce arriba tu propio eje y barre después el diámetro en el gráfico para ver con qué fuerza se desploman la tensión y el giro.
