La loi de Stokes donne la vitesse limite d'une petite particule par v = g·d²·Δρ/(18μ), proportionnelle au carré du diamètre. Saisissez la taille et la masse volumique de la particule, les propriétés du fluide et une hauteur de décantation pour obtenir la vitesse de chute, la valeur de Stokes pour comparaison, le nombre de Reynolds particulaire et le temps de décantation. Au-delà de Re 1 la loi de traînée change et le calculateur la résout par itération.
Calculateur
Unités :
mm
Diamètre sphérique équivalent. Sable fin 0,1, limon 0,01, argile 0,002
kg/m³
Sable quartzeux 2650 ; floc d'alun 1010 à 1100 ; sable de dessableur 2600
kg/m³
L'eau à 20 °C vaut 998 kg/m³
Pa·s
Eau : 0,001 à 20 °C, 0,00131 à 10 °C, 0,00055 à 50 °C
m
Hauteur que la particule doit parcourir en tombant
Résultat du calcul
Appuyez sur Calculer pour obtenir la vitesse de chute, la valeur de Stokes pour comparaison, le nombre de Reynolds particulaire et le temps mis pour parcourir la hauteur saisie. Dès que le nombre de Reynolds dépasse 1, c'est la vitesse corrigée de la traînée qu'il faut retenir.
Solution étape par étape
Aide au prédimensionnement. Les résultats suivent les formules publiées citées plus bas et sont destinés à l'estimation, à l'étude et au prédimensionnement. Le projet définitif doit être vérifié par un ingénieur qualifié au regard de la réglementation en vigueur sur le chantier.
Points clés
✓Applique la loi de Stokes et signale où elle cesse d'être valable
✓Résout le bilan de traînée par itération au-delà de Re 1, pour que le résultat reste juste
✓Affiche les deux valeurs côte à côte, ce qui rend l'erreur de Stokes visible
✓Se traduit directement en temps de décantation pour une hauteur donnée
✓Le graphique de sensibilité montre la dépendance quadratique à la taille des particules
✓Liens partageables et export CSV pour le dossier de projet
Qu'est-ce que la vitesse de sédimentation ?
Une particule lâchée dans un fluide au repos accélère jusqu'à ce que la traînée équilibre son poids déjaugé, puis tombe à vitesse limite constante. Pour une petite sphère en écoulement lent, la traînée est purement visqueuse et l'équilibre se résout analytiquement pour donner la loi de Stokes : v = g·d²·(ρs − ρf)/(18μ). La dépendance au carré du diamètre est le trait dominant : diviser la taille de la particule par deux divise la vitesse de chute par quatre.
Où la loi de Stokes cesse de fonctionner
La loi de Stokes suppose que l'écoulement autour de la particule est entièrement visqueux, ce qui ne tient que tant que le nombre de Reynolds particulaire reste sous 1 environ. Au-dessus, l'inertie contribue à la traînée et la vitesse réelle décroche de la prédiction de Stokes : de 12 % à Re 0,8, mais de 148 % pour un grain de sable de 0,5 mm à Re 45. Appliquer Stokes seul à quoi que ce soit de la taille du sable donne un résultat qui n'est pas simplement imprécis, mais faux d'un facteur deux ou plus.
Pourquoi les fines exigent une coagulation
Comme la vitesse varie au carré de la taille, l'éventail couvert par les particules naturelles est énorme. Dans un même ouvrage de trois mètres, un grain de sable de 0,5 mm décante en 33 secondes, un grain de 0,1 mm en 6 minutes, une particule de limon de 10 microns en plus de 9 heures et une de 5 microns en 37 heures. Aucun décanteur ne peut offrir un temps de séjour de plusieurs jours : le traitement de l'eau ajoute donc des coagulants qui lient les fines en flocs des centaines de fois plus gros. On achète de la vitesse de chute avec de la taille plutôt qu'avec du volume d'ouvrage.
Formule
v = g · d² · (ρs − ρf) / (18μ)
Loi de Stokes pour la vitesse limite de chute, valable tant que le nombre de Reynolds particulaire reste sous 1
Formules associées
Re_p = ρf · v · d / μ
v = √(4·g·d·Δρ / (3·Cd·ρf))
Cd = 24/Re + 3/√Re + 0.34
t = h / v
Définition des variables
Symbole
Variable
Unité
Description
v
Vitesse de sédimentation
mm/s
Vitesse limite à laquelle la traînée équilibre le poids déjaugé.
d
Diamètre de la particule
mm
Diamètre sphérique équivalent. Dans le domaine de Stokes, la vitesse varie comme son carré.
ρs
Masse volumique de la particule
kg/m³
2650 pour du sable quartzeux ; 1050 à 1100 pour des flocs organiques.
ρf
Masse volumique du fluide
kg/m³
998 pour l'eau à 20 °C.
μ
Viscosité dynamique
Pa·s
0,001 pour l'eau à 20 °C. Baisse de près de moitié entre 20 et 50 °C.
Re_p
Nombre de Reynolds particulaire
—
ρf·v·d/μ. La loi de Stokes n'est valable qu'en dessous de 1 environ.
Comment utiliser ce calculateur
Utilisez un diamètre sphérique équivalentLes particules réelles ne sont pas des sphères, et les formes irrégulières ou en plaquettes décantent plus lentement qu'une sphère de même volume. Employez le diamètre de tamisage ou de sédimentation lorsque vous en disposez, et traitez le résultat comme une borne supérieure pour un matériau anguleux.
Utilisez l'écart de masse volumique qui s'applique vraimentLa vitesse de chute dépend de l'écart entre la masse volumique de la particule et celle du fluide, pas de la masse volumique de la particule seule. Un floc d'alun à 1050 kg/m³ dans une eau à 998 présente un écart de seulement 52, environ 3 % de celui d'un grain de sable, et c'est pourquoi les flocs décantent si lentement pour leur taille.
Prenez la viscosité à la température de serviceLa vitesse est inversement proportionnelle à la viscosité, et celle de l'eau monte de 31 % en passant de 20 à 10 °C. Un décanteur qui donne satisfaction en été peut se révéler insuffisant en hiver pour cette seule raison.
Confrontez le nombre de Reynolds à 1En dessous de 1, la loi de Stokes et le résultat corrigé de la traînée coïncident. Au-dessus, ils s'écartent vite et c'est le chiffre corrigé qu'il faut retenir. Le calculateur donne les deux pour que l'ampleur de l'écart soit visible.
Traitez le temps de décantation comme un idéalLe temps obtenu suppose une eau au repos et une particule unique tombant librement. Les ouvrages réels connaissent la turbulence d'entrée, les courts-circuits hydrauliques et la décantation freinée aux fortes concentrations en matières en suspension, autant de raisons pour lesquelles la performance réelle est inférieure au calcul.
Exemples résolus
Exemple 1
Un grain de sable fin de 0,1 mm, de masse volumique 2650 kg/m³, décantant dans une eau au repos à 20 °C dans un ouvrage de 3 m de profondeur.
Loi de Stokes : v = 9,81 × (0,0001)² × 1652 / (18 × 0,001)
= 9,81 × 1×10⁻⁸ × 1652 / 0,018 = 9,003 mm/s
Vérification du nombre de Reynolds particulaire : Re = 998 × 0,008016 × 0,0001 / 0,001 = 0,80
Re = 0,80 approche la limite de la loi de Stokes : c'est donc la solution corrigée de la traînée qui s'applique, soit 8,016 mm/s
Stokes surestime la vitesse de 12,3 % à cette taille
Temps de décantation : 3,0 / 0,008016 = 374 s, soit environ 6,2 minutes
Lecture : le sable fin décante sans difficulté. Un ouvrage offrant six minutes de séjour au calme élimine cette fraction, et c'est pourquoi le dessablage est un procédé unitaire simple.
Exemple 2
Un grain plus grossier, de 0,5 mm : cinq fois le diamètre, et largement hors du domaine de Stokes.
Solution étape par étape
La loi de Stokes donnerait v = 9,81 × (0,0005)² × 1652 / 0,018 = 225,1 mm/s
Soit 25 fois la valeur à 0,1 mm, exactement ce que prédit la loi quadratique pour cinq fois le diamètre
Mais le nombre de Reynolds particulaire à cette vitesse serait très au-dessus de 1 : cette loi de traînée ne s'applique donc plus
La résolution itérative du bilan complet des forces donne 90,7 mm/s à Re = 45,3
Stokes surestime la vitesse de 148 % : un facteur 2,5, pas une erreur d'arrondi
Le rapport réel au grain de 0,1 mm est 11,3, et non 25. Passé le domaine de Stokes, la dépendance au diamètre s'affaiblit du carré vers quelque chose de proche de la racine carrée.
Temps de décantation : 3,0 / 0,0907 = 33 s, contre 374 s pour le grain de 0,1 mm.
La leçon pratique est que la loi de Stokes est une loi pour les fines. Pour tout ce qui a la taille du sable, elle ne doit servir que de première estimation, et il faut vérifier le nombre de Reynolds avant de s'appuyer sur le chiffre.
Sensibilité à la taille des particules
La vitesse de chute grimpe fortement avec la taille des particules : au carré du diamètre tant que la loi de Stokes tient. Comparez les deux séries de vitesse pour voir où elles divergent : elles coïncident sous Re 1 et s'écartent vite au-dessus. Le repère indique votre taille de particule actuelle.
Vitesse de sédimentationen fonction deDiamètre de la particule
Recalculé en direct à partir de vos données. Le repère indique votre valeur actuelle.
Graphique en courbe de Vitesse de sédimentation en fonction de Diamètre de la particule. Les mêmes valeurs figurent dans le tableau de données ci-dessous.
Valeurs tracées ci-dessus, échantillonnées sur la plage de diamètre de la particule.
Comment interpréter le résultat
La vitesse de chute décide si la décantation est seulement un mécanisme d'élimination réaliste. Le nombre de Reynolds particulaire, lui, dit si la loi de Stokes avait le droit de produire ce résultat.
Vitesse de sédimentation: < 0.05Ne décante pratiquement pas
Une vitesse de chute de your result mm/s signifie que cette particule ne sera éliminée par décantation dans aucun ouvrage réaliste. Le mécanisme approprié est la coagulation pour former des flocs plus gros, ou la filtration. À cette échelle, le mouvement brownien et la charge de surface deviennent eux aussi significatifs.
Vitesse de sédimentation: 0.05 – 1Décantation lente : long séjour nécessaire
À your result mm/s, le temps de séjour requis se compte en heures. C'est le domaine du limon et des flocs fins, où l'on recourt à des lamelles ou à des modules tubulaires pour augmenter la surface de décantation effective sans augmenter le volume de l'ouvrage.
Vitesse de sédimentation: 1 – 20Décante facilement
Une vitesse de chute de your result mm/s s'élimine bien dans un décanteur classique. C'est le domaine du sable fin et des sables de dessableur, et la charge superficielle correspondante est une valeur de projet parfaitement utilisable.
Vitesse de sédimentation: ≥ 20Décantation rapide
À your result mm/s, la particule tombe presque immédiatement. La difficulté n'est pas de l'éliminer : la préoccupation devient l'abrasion des pompes et des canalisations, et le maintien du matériau en suspension là où il doit être transporté.
Nombre de Reynolds particulaire: ≥ 1Hors du domaine de Stokes
Un nombre de Reynolds particulaire de your result dépasse 1 : la loi de Stokes ne s'applique donc pas. La vitesse corrigée de la traînée est affichée à côté de la valeur de Stokes, et l'écart entre les deux mesure à quel point la formule simple se serait trompée.
Erreurs courantes à éviter
Appliquer la loi de Stokes à des particules de la taille du sable
Pourquoi c'est important :La loi de Stokes n'est valable qu'en dessous d'un nombre de Reynolds particulaire de 1 environ. Pour un grain de 0,5 mm, ce nombre vaut 45 et Stokes surestime la vitesse de 148 % : un facteur deux et demi, pas une correction.
✓Comment l'éviter :Calculez toujours le nombre de Reynolds à la vitesse obtenue. Dès qu'il dépasse 1, résolvez le bilan de traînée complet, comme le fait ce calculateur.
Utiliser la masse volumique de la particule au lieu de l'écart
Pourquoi c'est important :La décantation est mue par le poids déjaugé, qui dépend de ρs − ρf. Un floc d'alun à 1050 kg/m³ semble dense jusqu'à ce qu'on en retranche les 998 de l'eau : il reste un écart de 52, environ 3 % de celui d'un grain de sable.
✓Comment l'éviter :Utilisez l'écart. C'est pourquoi les flocs décantent si lentement malgré leur taille, et pourquoi le facteur limitant est souvent leur masse volumique et non leur dimension.
Ignorer la température
Pourquoi c'est important :La vitesse est inversement proportionnelle à la viscosité, et celle de l'eau monte de 31 % de 20 °C à 10 °C. Un ouvrage dimensionné sur les conditions estivales perd en hiver près du quart de sa vitesse de chute.
✓Comment l'éviter :Dimensionnez sur la température d'eau la plus froide attendue. C'est une cause courante de décanteurs qui sous-performent selon la saison.
Supposer que les particules sont des sphères
Pourquoi c'est important :Les particules anguleuses, en plaquettes ou fibreuses décantent plus lentement qu'une sphère de même volume, parce qu'elles présentent davantage de surface de traînée et tendent à s'orienter à plat face à l'écoulement. Pour les argiles feuilletées, l'erreur peut dépasser 50 %.
✓Comment l'éviter :Employez le diamètre de sédimentation lorsque vous l'avez, ou traitez le résultat sphérique comme une borne supérieure. Pour les flocs, les essais en colonne de décantation sont plus fiables que n'importe quelle formule.
Lire le temps de décantation comme un temps de séjour de projet
Pourquoi c'est important :Le calcul suppose une eau au repos et une seule particule tombant librement. Les ouvrages réels ont une quantité de mouvement à l'entrée, des courants de densité, une action du vent et des courts-circuits hydrauliques, et aux fortes concentrations les particules se gênent et décantent plus lentement encore.
✓Comment l'éviter :Appliquez un coefficient de performance, ou dimensionnez sur la charge superficielle plutôt que sur le temps de séjour. La charge superficielle est le critère le plus robuste parce qu'elle ne dépend pas de la hauteur de l'ouvrage.
Attendre de la décantation qu'elle élimine les fines
Pourquoi c'est important :Une particule de 5 microns met 37 heures à tomber de 3 m. Aucun ouvrage réaliste n'offre ce temps de séjour, et en dessous d'un micron le mouvement brownien et la charge de surface maintiennent les particules en suspension indéfiniment.
✓Comment l'éviter :Coagulez pour former des flocs plus gros et plus rapides, ou filtrez. Acheter de la vitesse de chute avec de la taille de particule revient bien moins cher que de l'acheter avec du volume d'ouvrage.
Applications pratiques
▸Dimensionner des décanteurs et des clarificateurs
▸Concevoir des dessableurs et des bassins de décantation d'eaux pluviales
▸Déterminer si une coagulation est nécessaire pour une taille de particule donnée
▸Estimer le transport et le dépôt de sédiments dans les canaux
▸Vérifier la performance de décantation face aux variations saisonnières de température
▸Analyser une granulométrie par sédimentation
Cas d'usage par secteur
Traitement de l'eau potable
Les particules de l'eau brute sont pour l'essentiel trop fines pour décanter en un temps réaliste : la coagulation les lie en flocs des centaines de fois plus gros. La masse volumique du floc étant faible, le gain vient de la taille ; et l'on recourt à des essais en colonne de décantation parce que le comportement du floc n'est prédit de façon fiable par aucune formule.
Eaux usées et eaux pluviales
Les dessableurs sont conçus pour retirer la fraction sableuse en laissant passer les matières organiques vers l'étage biologique, ce qui est une distinction par vitesse de chute et non par taille. Ce qui rend la séparation possible, c'est l'écart de masse volumique entre le sable à 2650 et l'organique proche de 1050.
Traitement des minerais
La classification hydraulique sépare les particules par vitesse de chute, laquelle combine taille et masse volumique. Deux particules de minéraux différents peuvent décanter au même rythme, et c'est pourquoi la classification et la concentration gravimétrique sont des opérations distinctes.
Conseils pratiques
💡Tant que Stokes tient, la vitesse varie au carré du diamètre : moitié de taille, quart de vitesse.
💡Vérifiez toujours le nombre de Reynolds particulaire ; Stokes ne vaut qu'en dessous de 1.
💡Ce qui pousse la décantation, c'est l'écart de masse volumique, pas celle de la particule.
💡La viscosité de l'eau monte de 31 % de 20 °C à 10 °C, freinant la décantation d'un quart.
💡Une particule de 5 microns met 37 heures à tomber de 3 m : coagulez plutôt que d'agrandir l'ouvrage.
💡Dimensionnez les décanteurs sur la charge superficielle, indépendante de la hauteur.
Avantages et limites
Avantages
✓Donne ensemble la valeur de Stokes et la valeur corrigée, montrant l'erreur directement
✓Reste exact au-delà de Re 1, là où la formule simple échoue lourdement
✓Se traduit en temps de décantation pour une hauteur donnée, qui est le résultat utile
✓Convient à toute particule et tout fluide par leurs masses volumiques et leur viscosité
✓Rend l'effet saisonnier de la température facile à tester
Limites
!Suppose des particules sphériques ; les formes irrégulières décantent plus lentement
!Suppose une particule isolée dans un fluide au repos : la décantation freinée à forte concentration est plus lente
!Ne tient compte ni de la turbulence d'entrée, ni des courants de densité, ni des courts-circuits des ouvrages réels
!Ne modélise pas la floculation, où les particules grossissent en décantant
!Le mouvement brownien et la charge de surface dominent sous un micron et ne sont pas inclus
!La corrélation de traînée vaut pour une sphère lisse et devient approximative au-delà de Re 200 000
!Donne un temps de décantation idéal, non un temps de séjour de projet
Jusqu'où porte la taille des particules
Des particules de quartz à 2650 kg/m³ décantant dans une eau au repos à 20 °C sur 3 m. Une plage de tailles de deux cents pour un produit une plage de vitesses de près de huit mille pour un, et montre où la loi de Stokes se sépare de la réalité.
Quartz dans l'eau à 20 °C, 3 m de hauteur. Stokes et la valeur corrigée coïncident à 0,4 % près sur les deux premières lignes et divergent d'un facteur 5,1 sur la dernière. La colonne du nombre de Reynolds montre exactement où l'hypothèse casse : l'accord tient tant qu'il reste sous 0,1 environ.
C'est la solution analytique de la vitesse limite d'une petite sphère en écoulement visqueux : v = g·d²·(ρs − ρf)/(18μ). Elle est exacte tant que le nombre de Reynolds particulaire reste sous 1 environ. George Stokes l'a établie en 1851 en étudiant l'amortissement des pendules, et non la décantation.
Comment calcule-t-on une vitesse de sédimentation ?
Appliquez la loi de Stokes aux particules fines, puis vérifiez le nombre de Reynolds. S'il dépasse 1, résolvez plutôt le bilan de traînée complet : ce calculateur fait les deux et affiche l'écart entre les résultats, pour que vous voyiez de combien la formule simple s'écarte.
Quand la loi de Stokes cesse-t-elle d'être valable ?
Au-delà d'un nombre de Reynolds particulaire de 1 environ. Pour du quartz dans l'eau, cela correspond à un diamètre proche de 0,1 mm, au-dessus duquel l'erreur grandit vite : 148 % à 0,5 mm et un facteur cinq à 1 mm de diamètre.
À quelle vitesse le sable décante-t-il dans l'eau ?
Le sable fin de 0,1 mm décante à environ 8 mm/s et met six minutes à tomber de 3 m. Le sable moyen de 0,5 mm décante à environ 91 mm/s et franchit la même hauteur en une demi-minute. Ce sont les deux fractions qu'un dessableur classique retire sans difficulté.
Pourquoi les fines mettent-elles si longtemps à décanter ?
Parce que la vitesse varie au carré du diamètre. Une particule de 5 microns décante environ 360 fois plus lentement qu'une de 0,1 mm et met 37 heures à tomber de 3 m contre 6 minutes, ce qui sort du domaine de n'importe quel ouvrage réaliste.
Pourquoi utilise-t-on la coagulation en traitement de l'eau ?
Pour lier les fines en flocs des centaines de fois plus gros, et acheter ainsi de la vitesse de chute avec de la taille. Cela revient bien moins cher que de fournir le volume d'ouvrage qu'exigerait la même élimination, et cela permet en outre des décanteurs plus compacts.
La température influe-t-elle sur la décantation ?
Oui, par la viscosité. L'eau est 31 % plus visqueuse à 10 °C qu'à 20 °C, si bien que la vitesse de chute baisse d'environ un quart. Il est courant que les décanteurs donnent de moins bons résultats en hiver précisément pour cette raison.
Pourquoi les flocs décantent-ils lentement alors qu'ils sont gros ?
Parce que la décantation dépend de l'écart de masse volumique et qu'un floc est presque entièrement composé d'eau. Un floc d'alun à 1050 kg/m³ présente un écart de seulement 52 face aux 998 de l'eau, environ 3 % de celui d'un grain de sable.
Qu'est-ce que la décantation freinée ?
Aux fortes concentrations en matières en suspension, les particules se gênent entre elles et gênent aussi la remontée du fluide déplacé, si bien que la suspension entière décante plus lentement que ne le ferait une particule isolée. Ce calcul suppose justement une particule isolée.
Qu'est-ce que la charge superficielle ?
C'est le débit divisé par la surface de l'ouvrage, en mètres par heure, ce qui est dimensionnellement une vitesse. Les particules qui décantent plus vite qu'elle sont éliminées : c'est donc le critère de projet le plus robuste, et contrairement au temps de séjour il ne dépend pas de la hauteur.
Glossaire
Vitesse de sédimentation
Vitesse limite constante à laquelle la traînée équilibre le poids déjaugé d'une particule.
Loi de Stokes
Vitesse de chute analytique d'une sphère en écoulement purement visqueux, valable sous Re 1.
Nombre de Reynolds particulaire
ρf·v·d/μ, le test de validité de la loi de Stokes pour une particule donnée.
Coefficient de traînée
Résistance adimensionnelle d'un corps à l'écoulement qui le contourne ; vaut 24/Re dans le domaine de Stokes.
Vitesse limite
Vitesse stationnaire atteinte lorsque la traînée égale le poids déjaugé.
Coagulation
Déstabilisation chimique des fines pour qu'elles se lient en flocs plus gros et plus rapides.
Floc
Agrégat de fines, volumineux mais peu dense car composé presque entièrement d'eau.
Décantation freinée
Décantation ralentie à forte concentration en matières en suspension, où les particules se gênent.
Charge superficielle
Débit divisé par la surface de l'ouvrage : une vitesse, et le principal critère de projet d'un décanteur.
Dessableur
Ouvrage dimensionné pour retirer les particules minérales denses en laissant passer les matières organiques légères.
Références scientifiques et normatives
Stokes, G. G., On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums, Transactions of the Cambridge Philosophical Society (1851) — Cambridge Philosophical Society
Clift, R., Grace, J. R. et Weber, M. E., Bubbles, Drops and Particles — Academic Press
Metcalf & Eddy, Wastewater Engineering: Treatment and Resource Recovery, 5e édition, chapitre 5 : Physical Unit Operations — McGraw-Hill
Cheng, N.-S., Simplified Settling Velocity Formula for Sediment Particle, Journal of Hydraulic Engineering (1997) — American Society of Civil Engineers
AWWA, Water Treatment Plant Design, 5e édition : Sedimentation — American Water Works Association
Conclusion
La vitesse de chute varie comme le carré du diamètre de la particule, et ce seul fait organise toute la matière. Sur la plage de tailles de deux cents pour un du tableau ci-dessus, la vitesse couvre près de quatre ordres de grandeur : 33 secondes pour franchir trois mètres avec du sable moyen, 37 heures avec du limon fin. Aucun ouvrage ne peut être construit avec un temps de séjour de plusieurs jours, et c'est pourquoi le traitement de l'eau achète de la vitesse de chute en faisant grossir les particules plutôt que les bassins. La seconde chose à retenir est l'endroit où la formule habituelle cesse de fonctionner. La loi de Stokes est exacte sous un nombre de Reynolds particulaire de 1 et gravement fausse au-dessus : à 0,5 mm elle surestime la vitesse de 148 %, et à 1 mm d'un facteur cinq. Vérifiez le nombre de Reynolds avant de vous fier au chiffre, et rappelez-vous que les deux valeurs décrivent une sphère isolée dans une eau au repos : les ouvrages réels, les particules irrégulières et les suspensions concentrées décantent tous plus lentement que cela.
Saisissez ci-dessus votre taille de particule et votre fluide pour obtenir la vitesse de chute et le temps.
